Diferencia entre revisiones de «Matriz normal»

893 bytes añadidos ,  hace 16 años
 
Demostraremos que la matriz U es diagonal, por ahora solo sabemos que es triangular superior.
Formalmente, definimos estas condiciones con números, ya que serán usadas en la demostración:
 
* <math>a_{k1} = 0 </math> <math>\forall k=2, .. , n </math> '''(1)'''
Usando el hecho que A es normal:
* <math>a_{k2} = 0 </math> <math> \forall k=3, .. , n </math> '''(2)'''
* ...
* <math>a_{k n-1} = 0 </math> <math> con \, \, k=n </math> '''(n-1)'''
 
:<math>A^{*}A=(QUQ^*)^{*}(QUQ^*)=QU^*(Q^*Q)_{(1)}UQ^*= QU^*UQ^*</math>
 
Usando el hecho que A es normal:
 
:<math>A^{*}A=(QUQ^*)^{*}(QUQ^*)=QU^*(Q^*Q)_{(1a)}UQ^*= QU^*UQ^*</math>
 
Idénticamente.
 
:<math>(QUQ^*)(QUQ^*)^{*} = QUU^*Q^*</math>
 
 
Postmultiplicando por <math>Q</math> y luego premultiplicando por <math>Q^*</math> obtenemos: <math>U^*U = UU^*</math>
 
<math>(UU^*)_{ii} = \sum_{j=1}^n { \overline{a_{ij}}*a_{ji} } = \sum_{j=1}^n {||a_{ji}||^2}</math>
 
Ahora utilizamos un procedimiento inductivo para probar que esta matriz producto es diagonal (sus elementos son ceros fuera de la diagonal principal)
 
* '''Caso i=1''': <math>(U^*U)_{11} = (UU^*)_{11}</math>
 
 
<math> \sum_{j=1}^n {||a_{1j}||^2}=\sum_{j=1}^n {||a_{j1}||^2}</math>
 
 
Separamos el elemento diagonal de las sumatorias.
 
<math>||a_{11}||^2 + \sum_{j=2}^n {||a_{1j}||^2}=||a_{11}||^2 + \sum_{j=2}^n {||a_{j1}||^2}</math>
 
 
Usando '''(1)'''
 
<math> \sum_{j=2}^n {||a_{1j}||^2} = 0 </math>
 
Por lo tanto, <math> a_{1j} = 0 </math> <math>\forall j=2, .. , n </math>
 
[[Categoría:Matrices]]
152

ediciones