Diferencia entre revisiones de «Espacio métrico completo»

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En [[análisis matemático]] un [[espacio métrico]] <math>(X,d)</math> se dice que es '''completo''' si toda [[sucesión de Cauchy]] [[convergencia|converge]], es decir, existe un elemento del espacio que es el [[Límite de una sucesión|límite]] de la sucesión.
 
La idea intuitiva de este concepto es que no hay nada "pegado" a <math>X</math> y que no esté en <math>(X,d)</math>. Así, por ejemplo, la recta real es un espacio completo, pero si le saco un punto, deja de serlo. Del mismo modo, todo [[intervalo]] cerrado en los reales es completo, pero todo intervalo acotado y abierto o semi-abierto no lo es. Por ejemplo, el intervalo <math>(0,1)</math> no es completo, pues la sucesión <math>a_n=\frac{1}{n}</math> es claramente de Cauchy, pero no converge, pues su límite es cero, punto que "no existe", pues no está en el conjunto.
 
La importancia de los espacios completos es que es mucho más fácil demostrar que una sucesión es de Cauchy a que converge, dado que para demostrar que una sucesión es de Cauchy no se necesita conocer el valor al que converge. Una vez demostrada que la sucesión es de Cauchy por la completitud del espacio, se llega a que la sucesión converge. Se ha podido construir en ellos métodos poderosos para demostrar la existencia de soluciones de ecuaciones (v.) numéricas, diferenciales o integrales en determinadas condiciones.
* El conjunto de los [[números reales]], <math>\mathbb{R}</math>, es completo con la métrica valor absoluto.
 
* Sin embargo, el conjunto de los [[Número racional|números racionales]], <math>\mathbb{QR} \setminus \{0\}</math>, quedeja esde un subconjunto del anterior, conserlo: la misma métrica, no lo es: existen sucesiones de números racionales que convergen a [[números irracionales]]. Por ser sucesiones convergentes (al menos, dentro desucesión <math>\mathbba_n=n^{R-1}</math>), sones de Cauchy. Perpero suno límiteconverge, nopues essu racionallímite, es decircero, está fueraexcluido del espacioconjunto.
 
* Extendiendo el ejemplo anterior, los intervalos acotados y abiertos o semi-abiertos de <math>\mathbb{R}</math> no son completos.
*Si un [[espacio normado]] es completo con la distancia inducida por su norma, se llama [[espacio de Banach]]. Si además la norma está inducida por un [[producto escalar]], se dice que se trata de un [[espacio de Hilbert]].
 
* No obstante, todo [[intervalo]] cerrado de los reales es completo.
 
* Otro subespacio no completo de los reales es el conjunto de los [[Número racional|números racionales]], <math>\mathbb{Q}</math> con la misma métrica. Efectivamente, existen sucesiones de números racionales que convergen a [[números irracionales]]. Por ser sucesiones convergentes (al menos, dentro de <math>\mathbb{R}</math>), son de Cauchy. Per su límite no es racional, es decir, está fuera del espacio.
 
== Algunos resultados ==
 
* En un espacio métrico toda sucesión convergente es de [[sucesión de Cauchy|Cauchy]].
* Sea (X,d) un espacio métrico completo y sea Y un subconjunto no vacío de X. Entonces (Y,d) es completo si y sólo si Y es un [[conjunto cerrado]] en (X,d).
* [[Teorema de las esferas encajadas]]. Sea (X,d) un espacio métrico. Es completo si y sólo si cualquier sucesión de esferas encajadas cuyos radios tiendan a cero tiene intersección no vacía.
* Todo [[espacio vectorial]] [[Operador norma|normado]] de [[Dimensión de un espacio vectorial|dimensión]] finita es completo.
* Sea (X,d) un espacio métrico completo y sea Y un subconjunto no vacío de X. Entonces (Y,d) es completo si y sólo si Y es un [[conjunto cerrado]] en (X,d).
*Todo Además, todo espacio métrico puede ser completado, esto es, existe otro espacio métrico <math>(Y,d')</math> completo, y una [[isometría]] <math>i \colon X \to Y</math>, tal que <math>i(X)</math> es un [[conjunto denso]] en <math>Y</math>. Así, por ejemplo, la completación del intervalo <math>(0,1)</math> resulta ser el intervalo <math>[0,1]</math>, y la ''completación'' de los<math>\mathbb{Q}</math> racionaleses son los reales<math>\mathbb{R}</math>.
* [[Teorema del punto fijo de Banach]] o Teorema de la Aplicación contractiva. Sea X un espacio métrico completo, y sea: f : X en X una [[aplicación contractiva]]. Entonces, existe un único punto p de X tal que f(p) = p.
* [[Teorema de las esferas encajadas]]:
 
* [[Teorema de las esferas encajadas]]. {{teorema|Sea (X,d) un espacio métrico. Es completo si y sólo si cualquier sucesión de esferas encajadas cuyos radios tiendan a cero tiene intersección no vacía.|}}
* [[Teorema del punto fijo de Banach]] (o de la aplicación contractiva):
 
{{teorema|Sea (''X'',''d'') un [[espacio métrico]] completo y sea ''f'': ''X'' → ''X'' una [[aplicación contractiva]] en ''X''. Entonces existe un único [[punto fijo (matemáticas)|punto fijo]] de ''f''.|[[Stefan Banach]]}}
 
== Véase también ==
* [[Espacio de Banach]], que es un [[espacio normado]] y completo con la distancia inducida por su norma.
* [[Espacio de Hilbert]], que es un espacio de Banach cuya norma está inducida por un [[producto escalar]].
 
[[Categoría:Topología]]
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