Diferencia entre revisiones de «Espacio compacto»

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En [[matemática]], más específicamente [[topología]], un '''espacio compacto''' es un [[espacio topológico|espacio]] que contiene todos sus posibles puntos límites.
El ejemplo paradigmático de espacio compacto es un [[intervalo cerrado]] de la recta, y más en general cualquier conjunto cerrado y acotado del [[espacio euclídeo]]. Un ejemplo de espacio no compacto es la [[recta real]], pues no es acotada y contiene sucesiones que tienden a infinito. Otro ejemplo es el conjunto de los [[números racionales]], pues uno puede acercarse arbitrariamente a puntos que faltan.
 
== Definición general ==
== Compacidad en el [[Espacio Euclideo]] ==
 
=== Definición general ===
Un subconjunto <math>A\subset\mathbb{R}^n</math> es '''compacto''' si satisface las siguientes condiciones equivalentes:
 
Un subconjunto[[espacio topológico]] <math>A\subset\mathbb{R}^nX</math> esse dice '''compacto''' si satisface las siguientes condiciones equivalentes:
# HB: todo cubrimiento por [[abiertos]] admite un subcubrimiento finito.
# PIF: si una familia de cerrados cumple que de a finitos se intersecan, entonces todos ellos se intersecan.
# toda sucesión en <math>A</math> admite una subsucesión convergente.
 
# HB: todo cubrimiento porTodo [[abiertoscubrimiento abierto]] de <math>X</math> admite un subcubrimiento finito.
== Compacidad en [[Espacio_métrico|Espacios Métricos]] ==
#PIF: Si <math>\{F_i\}_{i\in I}</math> es una familia de cerrados en <math>X</math> tal que <math>\cap_{finitos} F_i \neq\emptyset</math>, entonces <math>\cap_{todos} F_i \neq\emptyset</math>.
# todaToda sucesión[[Red (matemática)|red]] en <math>AX</math> admite una subsucesiónsubred convergente.
# La función al punto <math>X\to\ast</math> es [[morfismo propio|propia]].
 
=== Compacidad en elespacios [[Espacio Euclideo]]métricos ===
La compacidad en [[Espacio_métrico|espacios métricos]] se define del mismo modo: <math>(E,d)</math> es '''compacto''' si satisface alguna de las tres condiciones anteriores.
El [[teorema de Heine-Borel]] admite en este contexto la siguiente variación: un espacio métrico es compacto si y sólo si es [[Completitud|completo]] y [[totalmente acotado]].
 
Un subconjunto ''A'' de un [[espacio métrico]] y, en particular, del [[espacio euclídeo]] <math>mathbb{R}^n</math>, es compacto si cumple alguna de las cuatro condiciones de la definición general. No obstante, la tercera de ellas admite la siguiente reescritura en este contexto: ''toda sucesión en <math>A</math> admite una subsucesión convergente''.
== Definición general ==
 
== Ejemplos ==
En [[topología]], un [[espacio topológico]] <math>X</math> se dice '''compacto''' si satisface las siguientes condiciones equivalentes:
 
* El ejemplo paradigmático de espacio compacto es un [[intervalo cerrado]] de la recta.
#HB: Todo [[cubrimiento abierto]] de <math>X</math> admite un subcubrimiento finito.
* Más generalmente, también lo es cualquier conjunto cerrado y acotado del [[espacio euclídeo]].
#PIF: Si <math>\{F_i\}_{i\in I}</math> es una familia de cerrados en <math>X</math> tal que <math>\cap_{finitos} F_i \neq\emptyset</math>, entonces <math>\cap_{todos} F_i \neq\emptyset</math>.
* Un ejemplo de espacio no compacto es la [[recta real]], pues no es acotada y contiene sucesiones que tienden a infinito.
# Toda [[Red (matemática)|red]] en <math>X</math> admite una subred convergente.
* Tampoco es compacto el conjunto de los [[números racionales]], pues uno puede acercarse arbitrariamente a puntos que faltan.
# La función al punto <math>X\to\ast</math> es [[morfismo propio|propia]].
 
== Teoremas asociados a la compacidad ==
 
=== Teorema de ArzeláHeine-AscoliBorel ===
{{AP|Teorema de Heine-Borel}}
 
ElPor el [[teorema de Heine-Borel]] admite en este contexto la siguiente variación:, un espacio métrico es compacto si y sólo si es [[Completitud|completo]] y [[totalmente acotado]]. Para subconjuntos del espacio euclídeo, basta con que éste sea [[cerrado]] y [[acotado]], que es una caracterización útil.
== Teorema de Arzelá-Ascoli ==
 
El [[teorema de Heine-Borel]] da una caracterización útil en los [[espacios vectoriales normados]] de dimensión finita: <math>K</math> es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Sin embargo, en dimensión infinita, esto no es verdad, y, de hecho, en este contexto la bola unitaria cerrada jamás será compacta; por lo mismo, es mucho más difícil verificar compacidad. Un resultado importante en los espacios de funciones continuas es el [[teorema de Arzelá-Ascoli]].
 
=== Teorema de Arzelá-Ascoli ===
== Cuasicompacidad ==
{{AP|Teorema de Arzelá-Ascoli}}
Sea <math>(X,\tau)</math> un espacio topológico con su topología asociada. <math>X</math> es quasi-compacto si para todo recubrimiento por abiertos de <math>X</math>, es decir, <math>\forall \{U_i\}_{i\in I}, U_i \in \tau</math>, existe un subrecubrimiento finito del mismo, es decir, <math>\{U_j\}_{j \in J}</math>, <math> J \subset I </math> y <math>J</math> es un conjunto finito.
 
== Véase también ==
 
[[Categoría:Topología general]]
[[Categoría:Terminología matemática]]
 
[[ar:فضاء مضغوط]]
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