Diferencia entre revisiones de «Número ordinal (teoría de conjuntos)»

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Los ordinales finitos (así como los cardinales finitos) son los [[números naturales]] 0, 1, 2,..., puesto que dos órdenes totales de un conjunto finito son [[Isomorfismo de orden|isomorfos en cuanto al orden]]. Al primer ordinal infinito se le denota ''ω''.
 
En el caso infinito, los ordinales ofrecen una distición más fina que los cardinales, que sólo representan la cantidad de elementos. Así, mientras sólo existe un cardinal infinito [[numerable]] &alefsym;<mathsub>\aleph_00</mathsub>, existen infinitos ordinales infinitos y numerables:
{{ecuación|<math>\omega,\omega+1,\dots,2\omega,2\omega+1,\ldots,\omega^2,\ldots,\omega^\omega,\ldots,\omega^{\omega^\omega},\ldots,\epsilon_0,\ldots</math> }}
que se corresponden con las distintas maneras de ordenar el conjunto de los números naturales (por ejemplo).
 
== Definiciones ==
*La colección de todos los ordinales &Omega; está bien ordenada a su vez, por la relación de pertencia/inclusión. Esta colección [[Paradoja de Burali-Forti|no es un conjunto]].
*Todo conjunto bien ordenado es isomorfo bajo orden a un único ordinal.
*El ordinal de los números naturales ''&omega;'' es el primer ordinal infinito.
Al (único) ordinal isomorfo a un conjunto bien ordenado ''A'' se le denota por <span style="vertical-align:23%;"><math>\displaystyle \bar{A}\,\!</math></span> ó ord(''A'').
 
== Aritmética ordinal ==
Pueden definirse unas operaciones de suma, multiplicación y exponenciación de ordinales de manera natural.
{{AP|Aritmética ordinal}}
Dentro de la totalidad de los ordinales, pueden definirse las operaciones de suma y multiplicación de manera natural.
 
=== Suma ===
En la suma de dos ordinales <math>\alpha</math> y <math>\beta</math>, imaginamosse considera el conjunto dado por la totalidad de los elementos de ambos, conordenado de forma que todos los elementos de <math>\beta</math> ason continuaciónmayores deque todos los elementos de <math>\alpha</math>. Este conjunto está bien ordenado, y su ordinal correspondiente es <math>\alpha+\beta</math>. De manera más técnica:
{{definición|<math>\alpha+\beta=\overline{\alpha\times\{0\}\cup\beta\times\{1\}}</math> ,}}
donde la barra indica que se toma el ordinal isomorfo al conjunto dado, dentro del cual se considera el orden dado por
donde se considera el orden dado por
{{ecuación|<math>(\gamma,n)<(\delta,m)\Leftrightarrow \text{O bien }n<m\text{, o bien }n=m\text{ y }\gamma<\delta</math>}}
Cabe destacar que esta suma ordinal no es conmutativa. Por ejemplo 1+''&omega;''=''&omega;''&ne;''&omega;''+1.
Cabe destacar que esta suma ordinal es [[propiedad asociativa|asociativa]] y con [[elemento neutro]] (<math>\alpha</math>+0=0+<math>\alpha</math>=<math>\alpha</math>), pero '''no''' es [[propiedad conmutativa|conmutativa]]. Por ejemplo 1+''&omega;''=''&omega;''&ne;''&omega;''+1.
{{demostración|En efecto, el ordinal 1+''&omega;'' es el isomorfo al conjunto<br>
:<math>\{0',0,1,2,3,\ldots\}</math><br>
donde se ha añadido un único elemento, menor que todos los demás. Es obvio que este conjunto no es más que un "cambio de nombre" de los elementos de ''&omega;''. Sin embargo, en ''&omega;''+1, estamos considerando el ordinal isomorfo a<br>
:<math>\{0,1,2,3,\ldots,0'\}</math><br>
donde el nuevo elemento que se añade es ''mayor'' que el resto, y en ''&omega;'' no hay [[elemento maximal]].
}}[[Archivo:Omega squared.png|thumb|300px250px|Representación visual de ''&omega;''<sup>2</sup>, "omega copias de omega". Cada línea vertical es un ordinal de la forma ''&omega;''&middot;''m''+''n'', es decir, el elemento n-ésimo de la "copia" m-ésima de &omega;.]]
 
=== Producto ===
De igual modo, para el producto de dos ordinales <math>\alpha</math> y <math>\beta</math>, imaginamosse considera una copia de <math>\alpha</math> por cada elemento de <math>\beta</math>, donde dentro de cada copia se respeta el orden de <math>\alpha</math>, y elementos de distintas copias se ordenan por su "índice" en <math>\beta</math>. De manera más técnica:
{{definición|<math>\alpha\cdot\beta=\overline{\alpha\times\beta}</math>}}
donde en <math>\scriptstyle \alpha\</math>&times;<math>\beta</math> se considera el orden dado por:
{{ecuación|<math>(\gamma,\delta)<(\gamma',\delta')\Leftrightarrow\text{O bien }\delta<\delta'\text{, o bien }\delta=\delta'\text{ y }\gamma<\gamma'</math>}}
DeEl nuevoproducto de ordinales es asociativo, estacon multiplicaciónelemento neutro (<math>\alpha</math>&middot;1=1&middot;<math>\alpha</math>=<math>\alpha</math>) y [[elemento absorbente]] (<math>\alpha</math>&middot;0=0&middot;<math>\alpha</math>=0), pero de nuevo '''no''' es conmutativa: 2&middot;''&omega;''=''&omega;''&ne;''&omega;''&middot;2=''&omega;''+''&omega;''.
{{demostración|El ordinal 2&middot;''&omega;'' es el isomorfo al conjunto<br>
 
:<math>\{0,0',1,1',2,2',3,3',\ldots\}</math><br>
{{demostración|El ordinal 2&middot;''&omega;'' es el isomorfo al conjunto<br>
donde las "copias" van "emparejadas". Es obvio que esto corresponde a un "cambio de nombre" de los elementos de ''&omega;''. En el caso de ''&omega;''&middot;2, el conjunto considerado es<br>
<math>\{0,0',1,1',2,2',3,3',\ldots\}</math><br>
:<math>\{0,1,2,3,\ldots,0',1',2',3',\ldots\}</math><br>
donde las "copias" van "emparejadas". Es obvio que esto corresponde a un "cambio de nombre" de los elementos de ''&omega;''. En el caso de ''&omega;''&middot;2, el conjunto considerado es<br>
<math>\{0,1,2,3,\ldots,0',1',2',3',\ldots\}</math><br>
siendo todos los elementos de la segunda copia mayores que los de la primera. Ningún cambio de nombre en ''&omega;'' puede darnos esta estructura (nótese por ejemplo que dentro de ''&omega;''&middot;2 no se da el [[principio de inducción]] de los números naturales).
}}
 
=== Exponenciación ===
La exponenciación de números cardinales se define de manera sencilla mediante [[inducción transfinita]]:
{{definición|1=El ordinal <math>\alpha</math><sup><math>\beta</math></sup> (con <math>\alpha</math>&ne;0) viene dado por:
*<math>\displaystyle\alpha^0=1</math>
*<math>\alpha^{\beta+1}=\alpha^\beta\cdot\alpha</math>
*<span style="vertical-align:-50%;"><math>\alpha^\lambda=\bigcup_{\gamma<\lambda}\alpha^\gamma</math></span>
}}
La exponenciación ordinal verifica varias de las propiedades de la exponeciación ordinaria:
:<math>\alpha^\beta\cdot\alpha^\gamma=\alpha^{\beta+\gamma}\text{ , }\alpha^{\beta\cdot\gamma}=(\alpha^\beta)^\gamma\text{ , } 1^\alpha=1\text{ , }\displaystyle\alpha^1=\alpha</math>
La exponenciación ordinal es muy diferente a la [[Número cardinal (teoría de conjuntos)#Aritmética cardinal|cardinal]]. Por ejemplo, 2<sup>''&omega;''</sup>=''&omega;'' es numerable (a diferencia de 2<sup>&alefsym;<sub>0</sub></sup>).
{{demostración|1=''&omega;'' es un ordinal límite, por lo que
:<math>2^\omega=\cup_{n\in\omega}2^n</math>
La exponeciación ordinal de números naturales coincide con la noción habitual de exponenciación. Por lo tanto, 2<sup>''&omega;''</sup> es el supremo de una sucesión de números naturales, luego ha de ser menor o igual que ''&omega;''. Pero dicha sucesión no tiene máximo dentro de los números naturales, luego no puede ser ningún número natural. Por tanto 2<sup>''&omega;''</sup>=''&omega;''.}}
 
== Véase también ==
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