Difference between revisions of "Número ordinal (teoría de conjuntos)"

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(inducción)
que se corresponden con distintas maneras de ordenar el conjunto de los números naturales.
 
== DefinicionesDefinición ==
 
=== Conjuntos bien ordenados ===
Un ordinal es un objeto matemático que clasifica todos los distintos conjuntos bien ordenados posibles. Por supuesto, ha de evitarse la posibilidad de clasificar con ordinales diferentes dos conjuntos bien ordenados distintos que en el fondo constituyan un "reetiquetado" el uno del otro.
 
{{demostración|título=Ejemplo|plegada=no|Los siguientes conjuntos, con el orden en el que están escritos los elementos, no representan maneras '''esencialmente distintas''' de ordenar los [[números naturales]] (sobreentendiendo que la serie sigue con normalidad tras los puntos suspensivos)
{{ecuación|
<math>
=== Definición de Von Neumann ===
En lugar de definirlo como una clase de equivalencia, el procedimiento más habitual clasificar los buenos órdenes es escoger un representante canónico, de manera unívoca, en cada una de estas clases. La definición estándar, sugerida por [[John Von Neumann]] es:
{{definición|Un conjunto ''S''<math>\alpha</math> es un ordinal si y sólo si está estrictamente bien ordenado con respecto apor la relación de pertenencia y cada elemento de ''S''<math>\alpha</math> es también un subconjunto del mismo.}}
La construcción estándar de los [[números naturales]] en teoría de conjuntos asegura que estos son ordinales. En esta construcción se define el cero como el conjunto vacío 0&equiv;&empty;={}, y a partir de ahí, cada número se define como el conjunto que contiene a los anteriores: 1&equiv;{0}, 2&equiv;{0,1}, etc.
 
*Todo conjunto bien ordenado es isomorfo bajo orden a un único ordinal.
*El ordinal de los números naturales ''&omega;'' es el primer ordinal infinito.
Al (único) ordinal isomorfo a un conjunto bien ordenado ''A'' se le denota por <span style="vertical-align:23%;"><math>\displaystyle \bar{{overline|''A''}}\,\!</math></span> ó ord(''A'').
Puede demostrarse que si <math>\alpha</math> es un ordinal, también lo es <math>\alpha</math>'&equiv;<math>\alpha</math>&cup;{<math>\alpha</math>}. Este es el llamado '''ordinal siguiente''S''''' a <math>\alpha</math>, y es el menor ordinal mayor que <math>\alpha</math>. Los ordinales diferentes de cero se dividen en dos clases bien diferenciadas:
{{definición|1=
*Un ordinal '''sucesor''' <math>\alpha</math> es un ordinal que es el siguiente de algún otro ordinal, <math>\alpha</math>=<math>\beta</math>'.
*Un ordinal '''límite''' &lambda; es un ordinal no nulo que no es el ordinal siguiente a ningún otro ordinal.}}
 
== Inducción transfinita ==
{{AP|Inducción transfinita}}
Los números ordinales poseen una propiedad similar al [[principio de inducción]] de los números naturales. Es el llamado '''principio de inducción transfinita''':
{{teorema|Dada una fórmula &phi;(<math>\alpha</math>), si se cumple:
*&phi;(0) es cierta,
*&phi;(<math>\alpha</math>') es cierta siempre que lo es &phi;(<math>\alpha</math>),
*&phi;(''&lambda;'') es cierta siempre que &phi;(''&gamma;'') lo sea para todos los ''&gamma;''<''&lambda;'',
entonces la fórmula es cierta para cualquier ordinal.
}}
donde ''&lambda;'' se refiere a un ordinal límite.
 
Una aplicación importante de este principio es la '''recursión transfinita''', que permite definir [[función matemática|funciones]] de ordinales:
{{teorema|1=Sean ''X'' un conjunto y ''G'' y ''H'' funciones definidas sobre los conjuntos. Entonces existe una única función definida sobre los ordinales ''F'', tal que:
*''F''(0)=''X''
*''F''(<math>\alpha</math>')=''G''(''F''(<math>\alpha</math>))
*''F''(''&lambda;'')=''H''(''F''<nowiki>|</nowiki><sub>''&lambda;''</sub>)
}}
donde ''F''<nowiki>|</nowiki><sub>''&lambda;''</sub> es la [[dominio de definición|restricción]] de ''F'' en ''&lambda;''.
 
== Aritmética ordinal ==
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