Diferencia entre revisiones de «Número ordinal (teoría de conjuntos)»

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(inducción)
(cosmética)
Los ordinales finitos (así como los cardinales finitos) son los [[números naturales]] 0, 1, 2,..., puesto que dos órdenes totales de un conjunto finito son [[Isomorfismo de orden|isomorfos en cuanto al orden]]. Al primer ordinal infinito se le denota ''ω''.
 
En el caso infinito, los ordinales ofrecen una distición más fina que los cardinales, que sólo representan la cantidad de elementos. Así, mientras sólo existe un cardinal infinito [[numerable]] <big>&alefsym;</big><sub>0</sub>, existen infinitos ordinales infinitos y numerables:
{{ecuación|<math>\omega,\omega+1,\dots,2\omega,2\omega+1,\ldots,\omega^2,\ldots,\omega^\omega,\ldots,\omega^{\omega^\omega},\ldots,\epsilon_0,\ldots</math> }}
que se corresponden con distintas maneras de ordenar el conjunto de los números naturales.
Un ordinal es un objeto matemático que clasifica todos los distintos conjuntos bien ordenados posibles. Por supuesto, ha de evitarse la posibilidad de clasificar con ordinales diferentes dos conjuntos bien ordenados distintos que en el fondo constituyan un "reetiquetado" el uno del otro.
 
{{demostración|título=Ejemplo|plegada=no|1=Los siguientes conjuntos, con el orden en el que están escritos los elementos, no representan maneras '''esencialmente distintas''' de ordenar los [[números naturales]] (sobreentendiendo que la serie sigue con normalidad tras los puntos suspensivos)
{{ecuación|
<math>
=== Definición de Von Neumann ===
En lugar de definirlo como una clase de equivalencia, el procedimiento más habitual clasificar los buenos órdenes es escoger un representante canónico, de manera unívoca, en cada una de estas clases. La definición estándar, sugerida por [[John Von Neumann]] es:
{{definición|1=Un conjunto ''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>'' es un ordinal si y sólo si está estrictamente bien ordenado por la relación de pertenencia y cada elemento de ''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>'' es también un subconjunto del mismo.}}
La construcción estándar de los [[números naturales]] en teoría de conjuntos asegura que estos son ordinales. En esta construcción se define el cero como el conjunto vacío 0&equiv;&empty;={}, y a partir de ahí, cada número se define como el conjunto que contiene a los anteriores: 1&equiv;{0}, 2&equiv;{0,1}, etc.
 
*El ordinal de los números naturales ''&omega;'' es el primer ordinal infinito.
Al (único) ordinal isomorfo a un conjunto bien ordenado ''A'' se le denota por {{overline|''A''}} ó ord(''A'').
Puede demostrarse que si ''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>'' es un ordinal, también lo es ''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''&prime;&equiv;''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''&cup;{''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''}. Este es el llamado '''ordinal siguiente''S''''' a ''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>'', y es el menor ordinal mayor que ''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''. Los ordinales diferentes de cero se dividen en dos clases bien diferenciadas:
{{definición|1=
*Un ordinal '''sucesor''' ''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>'' es un ordinal que es el siguiente de algún otro ordinal, ''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''=''<mathspan class="texhtml">\betaβ</mathspan>''&prime;.
*Un ordinal '''límite''' &lambda; es un ordinal no nulo que no es el ordinal siguiente a ningún otro ordinal.}}
 
{{AP|Inducción transfinita}}
Los números ordinales poseen una propiedad similar al [[principio de inducción]] de los números naturales. Es el llamado '''principio de inducción transfinita''':
{{teorema|1=Dada una fórmula &phi;(''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''), si se cumple:
*&phi;(0) es cierta,
*&phi;(''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''&prime;) es cierta siempre que lo es &phi;(''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''),
*&phi;(''&lambda;'') es cierta siempre que &phi;(''&gamma;'') lo sea para todos los ''&gamma;''<''&lambda;'',
entonces la fórmula es cierta para cualquier ordinal.
{{teorema|1=Sean ''X'' un conjunto y ''G'' y ''H'' funciones definidas sobre los conjuntos. Entonces existe una única función definida sobre los ordinales ''F'', tal que:
*''F''(0)=''X''
*''F''(''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''&prime;)=''G''(''F''(''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''))
*''F''(''&lambda;'')=''H''(''F''<nowiki>|</nowiki><sub>''&lambda;''</sub>)
}}
 
=== Suma ===
En la suma de dos ordinales ''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>'' y ''<mathspan class="texhtml">\betaβ</mathspan>'', se considera el conjunto dado por la totalidad de los elementos de ambos, ordenado de forma que todos los elementos de ''<mathspan class="texhtml">\betaβ</mathspan>'' son mayores que todos los elementos de ''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''. Este conjunto está bien ordenado, y su ordinal correspondiente es ''<mathspan class="texhtml">\alphaα</span>''+\beta''<span class="texhtml">β</mathspan>''. De manera más técnica:
{{definición|1=<math>\alpha+\beta=\overline{\alpha\times\{0\}\cup\beta\times\{1\}}</math> ,}}
donde se considera el orden dado por
{{ecuación|<math>(\gamma,n)<(\delta,m)\Leftrightarrow \acute{\text{O}}\text{ bien }n<m\text{, }\acute{\text{o}}\text{ bien }n=m\text{ y }\gamma<\delta</math>}}
Cabe destacar que esta suma ordinal es [[propiedad asociativa|asociativa]] y con [[elemento neutro]] (''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''+0=0+''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''=''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''), pero '''no''' es [[propiedad conmutativa|conmutativa]]. Por ejemplo 1+''&omega;''=''&omega;''&ne;''&omega;''+1.
{{demostración|En efecto, el ordinal 1+''&omega;'' es el isomorfo al conjunto
:<math>\{0',0,1,2,3,\ldots\}</math><br>
 
=== Producto ===
De igual modo, para el producto de dos ordinales ''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>'' y ''<mathspan class="texhtml">\betaβ</mathspan>'', se considera una copia de ''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>'' por cada elemento de ''<mathspan class="texhtml">\betaβ</mathspan>'', donde dentro de cada copia se respeta el orden de ''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>'', y elementos de distintas copias se ordenan por su "índice" en ''<mathspan class="texhtml">\betaβ</mathspan>''. De manera más técnica:
{{definición|<math>\alpha\cdot\beta=\overline{\alpha\times\beta}</math>}}
donde en ''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''&times;''<mathspan class="texhtml">\betaβ</mathspan>'' se considera el orden dado por:
{{ecuación|<math>(\gamma,\delta)<(\gamma',\delta')\Leftrightarrow\acute{\text{O}}\text{ bien }\delta<\delta'\text{, }\acute{\text{o}}\text{ bien }\delta=\delta'\text{ y }\gamma<\gamma'</math>}}
El producto de ordinales es asociativo, con elemento neutro (''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''&middot;1=1&middot;''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''=''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>'') y [[elemento absorbente]] (''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''&middot;0=0&middot;''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''=0), pero de nuevo '''no''' es conmutativa: 2&middot;''&omega;''=''&omega;''&ne;''&omega;''&middot;2=''&omega;''+''&omega;''.
{{demostración|El ordinal 2&middot;''&omega;'' es el isomorfo al conjunto
:<math>\{0,0',1,1',2,2',3,3',\ldots\}</math><br>
=== Exponenciación ===
La exponenciación de números cardinales se define de manera sencilla mediante [[inducción transfinita]]:
{{definición|1=El ordinal ''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''<sup>''<mathspan class="texhtml">\betaβ</mathspan>''</sup> (con ''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>''&ne;0) viene dado por:
*<math>\displaystyle\alpha^0=1</math>
*<math>\alpha^{\beta+1}=\alpha^\beta\cdot\alpha</math>
La exponenciación ordinal verifica varias de las propiedades de la exponeciación ordinaria:
:<math>\alpha^\beta\cdot\alpha^\gamma=\alpha^{\beta+\gamma}\text{ , }\alpha^{\beta\cdot\gamma}=(\alpha^\beta)^\gamma\text{ , } 1^\alpha=1\text{ , }\displaystyle\alpha^1=\alpha</math>
La exponenciación ordinal es muy diferente a la [[Número cardinal (teoría de conjuntos)#Aritmética cardinal|cardinal]]. Por ejemplo, 2<sup>''&omega;''</sup>=''&omega;'' es numerable (a diferencia de 2<sup><big>&alefsym;</big><sub>0</sub></sup>).
{{demostración|1=''&omega;'' es un ordinal límite, por lo que
:<math>2^\omega=\cup_{n\in\omega}2^n</math>
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