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En lugar de definirlo como una clase de equivalencia, el procedimiento más habitual clasificar los buenos órdenes es escoger un representante canónico, de manera unívoca, en cada una de estas clases. La definición estándar, sugerida por [[John Von Neumann]] es:
{{definición|1=Un conjunto ''<span class="texhtml">α</span>'' es un ordinal si y sólo si está estrictamente bien ordenado por la relación de pertenencia y cada elemento de ''<span class="texhtml">α</span>'' es también un subconjunto del mismo.}}
La construcción estándar de los [[números naturales]] en teoría de conjuntos asegura que estos son ordinales. En esta construcción se define el cero como el conjunto vacío 0≡∅ = {}, y a partir de ahí, cada número se define como el conjunto que contiene a los anteriores: 1 ≡ {0}, 2 ≡ {0, 1}, etc.
De la definición dada por Von Neumann puede probarse:
*El conjunto de los números naturales ''ω'' = {0, 1, 2, ...} es un ordinal (el primer ordinal infinito y límite, ver más abajo).}}
Al (único) ordinal isomorfo a un conjunto bien ordenado ''A'' se le denota por {{overline|''A''}} ó ord(''A'').
Puede demostrarse que si ''<span class="texhtml">α</span>'' es un ordinal, también lo es ''<span class="texhtml">α</span>''′ ≡ ''<span class="texhtml">α</span>'' ∪ {''<span class="texhtml">α</span>''}. Este es el llamado '''ordinal siguiente''' a ''<span class="texhtml">α</span>'', y es el menor ordinal mayor que ''<span class="texhtml">α</span>''. Los ordinales diferentes de cero se dividen en dos clases bien diferenciadas:
{{definición|1=
*Un ordinal '''sucesor''' ''<span class="texhtml">α</span>'' es un ordinal que es el siguiente de algún otro ordinal, ''<span class="texhtml">α</span>'' = ''<span class="texhtml">β</span>''′.
*Un ordinal '''límite''' ''λ'' es un ordinal no nulo que no es el ordinal siguiente a ningún otro ordinal.}}
Por ejemplo, todos los números naturales mayores que cero, ''n'' = {0, 1, 2, ..., ''n''-1}, son ordinales sucesores. El ordinal de los números naturales ''ω'' es un ordinal límite (el primero de ellos).
*φ(0) es cierta,
*φ(''<span class="texhtml">α</span>''′) es cierta siempre que lo es φ(''<span class="texhtml">α</span>''),
*φ(''λ'') es cierta siempre que φ(''γ'') lo sea para todos los ''γ'' < ''λ'',
entonces la fórmula es cierta para cualquier ordinal.
}}
Una aplicación importante de este principio es la '''recursión transfinita''', que permite definir [[función matemática|funciones]] de ordinales:
{{teorema|1=Sean ''X'' un conjunto y ''G'' y ''H'' funciones definidas sobre los conjuntos. Entonces existe una única función definida sobre los ordinales ''F'', tal que:
*''F''(0) = ''X''
*''F''(''<span class="texhtml">α</span>''′) = ''G''(''F''(''<span class="texhtml">α</span>''))
*''F''(''λ'') = ''H''(''F''<nowiki>|</nowiki><sub>''λ''</sub>)
}}
donde ''F''<nowiki>|</nowiki><sub>''λ''</sub> es la [[dominio de definición|restricción]] de ''F'' en ''λ''.
== Aritmética ordinal ==
{{AP|Aritmética ordinal}}
Pueden definirse unas operaciones de suma, multiplicación y exponenciación de ordinales de manera natural, mediante [[recursión transfinita]] o mediante definiciones "geométricas". Estas operaciones extienden la aritmética de los números naturales.
=== Suma ===
En la suma de dos ordinales ''<span class="texhtml">α</span>'' y ''<span class="texhtml">β</span>'', se considera el conjunto dado por la totalidad de los elementos de ambos, ordenado de forma que todos los elementos de ''<span class="texhtml">β</span>'' son mayores que todos los elementos de ''<span class="texhtml">α</span>''. Este conjunto está bien ordenado, y su ordinal correspondiente es ''<span class="texhtml">α</span>''+''<span class="texhtml">β</span>''. De manera más técnica:
{{definición|1=<math>\alpha+\beta=\overline{\alpha\times\{0\}\cup\beta\times\{1\}}</math> ,}}
donde se considera el orden dado por
{{ecuación|<math>(\gamma,n)<(\delta,m)\Leftrightarrow \acute{\text{O}}\text{ bien }n<m\text{, }\acute{\text{o}}\text{ bien }n=m\text{ y }\gamma<\delta</math>}}
Cabe destacar que esta suma ordinal es [[propiedad asociativa|asociativa]] y con [[elemento neutro]] (''<span class="texhtml">α</span>''+0=0+''<span class="texhtml">α</span>''=''<span class="texhtml">α</span>''), pero '''no''' es [[propiedad conmutativa|conmutativa]]. Por ejemplo 1+''ω''=''ω''≠''ω''+1.
{{demostración|En efecto, el ordinal 1+''ω'' es el isomorfo al conjunto
:<math>\{0',0,1,2,3,\ldots\}</math><br>
donde se ha añadido un único elemento, menor que todos los demás. Es obvio que este conjunto no es más que un "cambio de nombre" de los elementos de ''ω''. Sin embargo, en ''ω''+1, estamos considerando el ordinal isomorfo a
:<math>\{0,1,2,3,\ldots,0'\}</math>
donde el nuevo elemento que se añade es ''mayor'' que el resto, y en ''ω'' no hay [[elemento maximal]].
}}[[Archivo:Omega squared.png|thumb|250px|Representación visual de ''ω''<sup>2</sup>, "omega copias de omega". Cada línea vertical es un ordinal de la forma ''ω''·''m''+''n'', es decir, el elemento n-ésimo de la "copia" m-ésima de ω.]]
=== Producto ===
De igual modo, para el producto de dos ordinales ''<span class="texhtml">α</span>'' y ''<span class="texhtml">β</span>'', se considera una copia de ''<span class="texhtml">α</span>'' por cada elemento de ''<span class="texhtml">β</span>'', donde dentro de cada copia se respeta el orden de ''<span class="texhtml">α</span>'', y elementos de distintas copias se ordenan por su "índice" en ''<span class="texhtml">β</span>''. De manera más técnica:
{{definición|<math>\alpha\cdot\beta=\overline{\alpha\times\beta}</math>}}
donde en ''<span class="texhtml">α</span>''×''<span class="texhtml">β</span>'' se considera el orden dado por:
{{ecuación|<math>(\gamma,\delta)<(\gamma',\delta')\Leftrightarrow\acute{\text{O}}\text{ bien }\delta<\delta'\text{, }\acute{\text{o}}\text{ bien }\delta=\delta'\text{ y }\gamma<\gamma'</math>}}
El producto de ordinales es asociativo, con elemento neutro (''<span class="texhtml">α</span>''·1=1·''<span class="texhtml">α</span>''=''<span class="texhtml">α</span>'') y [[elemento absorbente]] (''<span class="texhtml">α</span>''·0=0·''<span class="texhtml">α</span>''=0), pero de nuevo '''no''' es conmutativa: 2·''ω''=''ω''≠''ω''·2=''ω''+''ω''.
{{demostración|El ordinal 2·''ω'' es el isomorfo al conjunto
:<math>\{0,0',1,1',2,2',3,3',\ldots\}</math><br>
donde las "copias" van "emparejadas". Es obvio que esto corresponde a un "cambio de nombre" de los elementos de ''ω''. En el caso de ''ω''·2, el conjunto considerado es
:<math>\{0,1,2,3,\ldots,0',1',2',3',\ldots\}</math>
siendo todos los elementos de la segunda copia mayores que los de la primera. Ningún cambio de nombre en ''ω'' puede darnos esta estructura (nótese por ejemplo que dentro de ''ω''·2 no se da el [[principio de inducción]] de los números naturales).
}}
=== Exponenciación ===
La exponenciación de números ordinales se define de manera sencilla mediante [[inducción transfinita]]:
{{definición|1=El ordinal ''<span class="texhtml">α</span>''<sup>''<span class="texhtml">β</span>''</sup> (con ''<span class="texhtml">α</span>''≠0) viene dado por:
*<math>\displaystyle\alpha^0=1</math>
*<math>\alpha^{\beta+1}=\alpha^\beta\cdot\alpha</math>
*<span style="vertical-align:-50%;"><math>\alpha^\lambda=\bigcup_{\gamma<\lambda}\alpha^\gamma</math></span>
}}
La exponenciación ordinal verifica varias de las propiedades de la exponeciación ordinaria:
:<math>\alpha^\beta\cdot\alpha^\gamma=\alpha^{\beta+\gamma}\text{ , }\alpha^{\beta\cdot\gamma}=(\alpha^\beta)^\gamma\text{ , } 1^\alpha=1\text{ , }\displaystyle\alpha^1=\alpha</math>
La exponenciación ordinal es muy diferente a la [[Número cardinal (teoría de conjuntos)#Aritmética cardinal|cardinal]]. Por ejemplo, 2<sup>''ω''</sup>=''ω'' es numerable (a diferencia de 2<sup><big>ℵ</big><sub>0</sub></sup>).
{{demostración|1=''ω'' es un ordinal límite, por lo que
:<math>2^\omega=\cup_{n\in\omega}2^n</math>
La exponeciación ordinal de números naturales coincide con la noción habitual de exponenciación. Por lo tanto, 2<sup>''ω''</sup> es el supremo de una sucesión de números naturales, luego ha de ser menor o igual que ''ω''. Pero dicha sucesión no tiene máximo dentro de los números naturales, luego 2<sup>''ω''</sup> no puede ser ningún número natural. Por tanto 2<sup>''ω''</sup>=''ω''.}}
== Véase también ==
*{{obra citada|apellidos=Ivorra|nombre=Carlos|título=Lógica y teoría de conjuntos|url=http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf|fechaacceso=18-10-2010}}.
*{{traducido ref|en|Ordinal number}}
[[Categoría:Números ordinales]]
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