Diferencia entre revisiones de «Espacio compacto»

2425 bytes añadidos ,  hace 9 años
referencias, reescribo
(referencias, reescribo)
En [[topología]], un '''espacio compacto''' es un [[espacio topológico|espacio]] que tiene propiedades similares a un [[conjunto finito]], en cuanto a que las [[sucesión matemática|sucesiones]] contenidas en un conjunto finito siempre contienen una [[subsucesión]] convergente. La propiedad de '''compacidad''' es una versión más fuerte de esta propiedad.
{{referencias}}
En [[topología]], un '''espacio compacto''' es un [[espacio topológico|espacio]] que contiene todos sus posibles puntos límites.
 
== Definición ==
=== Definición general ===
 
La definición moderna de compacidad requiere primero especificar la noción de [[cubrimiento abierto]]:
Un [[espacio topológico]] ''X'' se dice '''compacto''' si satisface las siguientes condiciones equivalentes:
{{definición|1=Un '''cubrimiento abierto''' de un subconjunto ''A'' &sube; ''X'' de un [[espacio topológico]], es una [[familia de conjuntos]] [[conjunto abierto|abierto]]s {''O<sub>i''</sub>}<sub>''i'' &isin; ''I''</sub> de ''X'', tales que su [[unión de conjuntos|unión]] "cubre" a ''A'' :
{{ecuación|1=<math>\bigcup_{i\in I}O_i\supseteq A</math>}}
}}
Dado un cubrimiento ''C'' de un conjunto ''A'', un '''subcubrimiento''' ''D'' es una subfamilia de ''C'', ''D'' &sube; ''C'' que sigue siendo un cubrimiento de ''A'' —esto es, una subcolección de conjuntos de ''C'' que aún cubre a ''A''—.
 
La definición de compacidad es entonces:
# Todo [[Recubrimiento_(matemática)|cubrimiento abierto]] de ''X'' admite un subcubrimiento finito.
{{definición|1=Un [[espacio topológico]] ''X'' se dice '''compacto''' si, dado un cubrimiento abierto de ''X'' cualquiera, existe un subcubrimiento [[finito]] del mismo.}}
# Si <math>\{F_i\}_{i\in I}</math> es una familia subconjuntos cerrados en ''X'' tal que para cada subconjunto finito ''J'' de ''I'' se cumple <math>\cap_J F_i \neq\emptyset</math>, entonces <math>\cap_I F_i \neq\emptyset</math>.
 
# Toda [[Red (matemática)|red]] en <math>X</math> admite una subred convergente.
'''Ejemplo.'''
*El conjunto ''K'' = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 0} &sube; '''R''' con la topología heredada de la usual de '''R''' es compacto. En efecto, dado un [[entorno (topología)|entorno]] de 0, este incluye a todos los 1/''n'' salvo un número finito —ya que la sucesión {1/''n''}<sub>''n'' &isin; '''N'''</sub> [[convergencia|converge]] a 0—. Así, dado un cubrimiento abierto de ''K'', tomando un abierto ''O'' que contenga a 0, y un abierto que contenga cada punto 1/''n'' no contenido en ''O'', esta subcolección finita cubre a ''K''.
*El [[intervalo abierto]] (0, 1) &sube; '''R''' no es compacto (con la topología usual heredada de '''R'''). En efecto, la familia { (0, 1 − 1/''n'') }<sub>''n'' > 1</sub> es un cubrimiento abierto del intervalo. Sin embargo, dada cualquier subfamilia finita, existe un (0, 1 − 1/''k'') en ella que contiene a los demás abiertos —buscando el ''k'' mínimo—, luego dicha subfamilia no cubre (0, 1) por entero.
 
=== Caracterizaciones equivalentes ===
La compacidad de un espacio admite varias formulaciones alternativas:
{{teorema|1=Las siguientes afirmaciones sobre un [[espacio topológico]] ''X'' son equivalentes entre sí:
# ''X'' es compacto.
# Si {''F<sub>i''</sub>}<sub>''i'' &isin; ''I''</sub> es una familia de subconjuntos [[conjunto cerrado|cerrado]]s en ''X'' con la [[propiedad de la intersección finita]], entonces <big>&cap;</big><sub>''I''</sub>''F<sub>i</sub> &ne; &empty;.
# Toda [[Red (matemática)|red]] en <math>''X</math>'' admite una subred convergente.
# La función al punto <math>X\to\ast</math> es [[morfismo propio|propia]].
}}
 
=== Compacidad en espacios métricos ===
* [[Compacidad local|Localmente compacto]].
* [[Soporte compacto]].
 
== Referencias ==
*{{obra citada|apellidos=Ivorra|nombre=Carlos|título=Análisis|url=http://www.uv.es/ivorra/Libros/Analisis.pdf|fechaacceso=21-05-2011}}.
*{{cita libro|apellidos=Munkres|nombre=James|título=Topología|isbn=9788420531809|editorial=Pearson Educación|año=2001}}
 
== Enlaces Externos ==
4044

ediciones