Diferencia entre revisiones de «Recta real extendida»

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En [[teoría de la medida]], se suelen admitir conjuntos que tienen medida infinita e integrales cuyo valor puede ser infinito.
 
Tales medidas surgen naturamente del cálculo. Por ejemplo, si se le asigna una ''medida'' a '''R''' correspondiente con la longitud usual de los intervalos, esta medida debe ser mayor que cualquier número real finito. También, si se consideran integrales infinitasno acotadas, como
 
:<math>\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}</math>
 
surge el valor "infinito". Finalmente, se suele considerar el límite de de launa sucesión de funciones, tales como
 
:<math>f_n(x) = \begin{cases} 2n(1-nx), & \mbox{if } 0 \le x \le \frac{1}{n} \\ 0, & \mbox{if } \frac{1}{n} < x \le 1\end{cases}</math>
 
Si no sepermitiesen permitiesevalores infinitos a estas funciones tomar valores infinitos, estosresultados resultadostan esenciales como el [[teorema de convergencia monótona]] y el [[teorema de convergencia dominada]] no tendrían sentido.
 
== Orden y propiedades topológicas ==
 
La recta real extendida se vuelve un [[Orden total|conjunto totalmente ordenado]] definiendo −∞ ≤ ''a'' ≤ +∞ para todo ''a''. Este orden tiene la agradable propiedad de que todo subconjunto tiene un [[supremo]] y un [[ínfimo]]: esconforma un [[retículo completo]].
 
Esto induce un [[orden topológico]] sobre '''{{Overline|R}}'''. En esta topología, un conjunto ''U'' es una [[Entorno (matemática)|vecindad]] de +∞ si y solo si contiene un conjunto {''x'' : ''x'' > ''a''} para algún número real ''a'', y análogamente para las vecindades de −∞. '''{{Overline|R}}''' es un [[espacio de Hausdorff]] [[Espacio compacto|compacto]] [[Homeomorfismo|homeomorfo]] al [[intervalo unidad]] [0, 1]. Luego esta topología es [[metrisableEspacio métrico#Espacios metrizables|metrizable]], corresponde (para un homeomorfismo dado) a la métrica usual en este intervalo. No hay una métrica que sea una extensión de la métrica usual sobre '''R'''.
 
Con esta topología, se pueden definir especialmente los [[Límite de una función|límites]] para ''x'' tendiendo a +∞ y −∞, y los conceptos especialmente definidos de límites igual a +∞ y −∞, se reducereducen a la definición topológica general de límites.
 
== Propiedades aritméticas ==