Diferencia entre revisiones de «Número de Betti»
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Línea 44:
:<math>P_{X\times Y}=P_X P_Y , \, </math>
donde ''P''<sub>''X''</sub> denota el '''polinomio de Poincaré''' de ''X'', (más generalmente, las [[
[[
:<math>P_X(z)=b_0(X)+b_1(X)z+b_2(X)z^2+\cdots , \,\!</math>
véase [[teorema de Künneth]].
Línea 85:
== Relación con dimensiones de espacios de formas diferenciales ==
En situaciones geométricas cuando <math>X</math> es una [[variedad cerrada]], la importancia de los números de Betti surge desde una dirección distinta, en particular, predicen las dimensiones de espacios vectoriales de [[Formas diferenciales cerradas y exactas|formas diferenciales cerradas]] ''[[Aritmética modular|módulo]]'' [[Formas diferenciales cerradas y exactas|formas diferenciales exactas]]. La conexión con la definición dada más arriba se da por la vía de tres resultados básicos, [[Cohomología de De Rham|el teorema de De Rham]] y la [[Dualidad de Poincaré|dualidad de Poincaré]] (cuando aplican), y el [[teorema del coeficiente universal]] de la [[teoría de homología]].
Hay una lectura alternativa, en particular que los números de Betti dan las dimensiones de espacios de [[Teoría de Hodge|formas armónicas]]. Para esto se requiere el uso de algunos resultados de la [[teoría de Hodge]], sobre el [[Operador laplaciano|laplaciano de Hodge]].
En este formato, la [[Teoría de Morse|teoría de Morse]] da un conjunto de inecuaciones para sumas alternadas de números de Betti en términos de una suma alternada correspondiente del número de [[Punto crítico (matemáticas)|puntos críticos]] <math>N_i</math> de una [[Teoría de Morse|función de Morse]] de un [[Teoría de Morse|índice]] dado:
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