Diferencia entre revisiones de «Espacio compacto»

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'''Ejemplo.'''
*El conjunto ''K'' = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 0} &sube; '''R''' con la topología heredada de la usual de '''R''' es compacto. En efecto, dado un [[entorno (topología)|entorno]] de 0, este incluye a todos los 1/''n'' salvo un número finito —ya que la sucesión {1/''n''}<sub>''n'' &isin; '''N'''</sub> [[convergencia (matemáticas)|converge]] a 0—. Así, dado un cubrimiento abierto de ''K'', tomando un abierto ''O'' que contenga a 0, y un abierto que contenga cada punto 1/''n'' no contenido en ''O'', esta subcolección finita cubre a ''K''.
*El [[intervalo abierto]] (0, 1) &sube; '''R''' no es compacto (con la topología usual heredada de '''R'''). En efecto, la familia { (0, 1 − 1/''n'') }<sub>''n'' > 1</sub> es un cubrimiento abierto del intervalo. Sin embargo, dada cualquier subfamilia finita, existe un (0, 1 − 1/''k'') en ella que contiene a los demás abiertos —buscando el ''k'' mínimo—, luego dicha subfamilia no cubre (0, 1) por entero.