Diferencia entre revisiones de «Recta real extendida»

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== Definiciones ==
=== Límites ===
Suele describirse el comportamiento de una función ''f''(''x''), cuando o bien el argumento ''x'' o el valor de la función ''f''(''x'') se vuelve «muy grande» en algún sentido. Por ejemplo, la función
 
:Por ejemplo, la función <math>f(x) = x^{-2}.</math>
 
La gráfica de esta función tiene una [[asíntota]] horizontal en ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;0. Geométricamente, cuanto más nos movemos hacia la derecha porsobre el eje ''x'', el valor de 1/''x''<sup>2</sup> se aproxima a 0. Este comportamiento al límite es similar al del [[límite de una función]] en un [[número real]], excepto que ahí no hay número real hacia el cual ''x'' se aproxima.
 
Añadiéndole los elementos +∞ y −∞ a '''R''', se permite la formulación de "límite al infinito" con propiedades [[Topología|topológicas]] similares a las de '''R'''.
 
=== Medida e integración ===
 
En [[teoría de la medida]], se suelen admitir conjuntos que tienen medida infinita e integrales cuyo valor puede ser infinito.
 
 
== Propiedades aritméticas ==
 
Las propiedades aritméticas de '''R''' pueden extenderse parcialmente a '''{{Overline|R}}''' del siguiente modo:
 
Las expresiones ∞ − ∞, 0 × (±∞) y ±∞ / ±∞ (llamadas [[Límite de una función#Indeterminaciones|formas indeterminadas]]) son usualmente [[Bien definido|indefinidas]] a la izquierda. Son reglas modeladas por las leyes de los [[Límite de una función|límites infinitos]]. No obstante, en el contexto de la probabilidad o teoría de la medida, 0 × (±∞) se define a menudo como 0.
 
La expresión 1/0 no se define ni como +∞ ni como −∞, porque aunque es cierto que cuando ''f''(''x'') → 0 para una [[función continua]] ''f''(''x'') debe suceder que 1/''f''(''x'') está eventualmente contenida en todo [[Entorno (matemática)|vecinaje]] del conjunto {−∞, +∞}, ''no es cierto'' que 1/''f''(''x'') deben tender a uno de estos puntos. Un ejemplo es ''f''(''x'') = 1/(sin(1/''x'')), su [[Valor absoluto|módulo]] es 1/|&thinsp;''f''(''x'')&thinsp;|, sin embargo, no se aproxima a +∞.
 
== Propiedades algebraicas ==
 
Con estas definiciones, '''{{Overline|R}}''' '''no''' es un [[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] y ni siquiera un [[anillo (matemáticas)|anillo]]. No obstante, tiene las sugiuentes propiedades convenientes:
* ''a'' + (''b'' + ''c'') y (''a'' + ''b'') + ''c'' son ambos o bien iguales o bien indefinidos.