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La definición moderna de compacidad requiere primero especificar la noción de [[cubrimiento abierto]]:
{{definición|1=Un '''cubrimiento abierto''' de un subconjunto ''A'' ⊆⊆ ''X'' de un [[espacio topológico]], es una [[familia de conjuntos]] [[conjunto abierto|abiertoabiertos]]s {''O<sub>i''</sub>}<sub>''i'' ∈∈ ''I''</sub> de ''X'', tales que su [[unión de conjuntos|unión]] "cubre" a ''A'' :
{{ecuación|1=<math>\bigcup_{i\in I}O_i\supseteq A</math>}}
}}
Dado un cubrimiento ''C'' de un conjunto ''A'', un '''subcubrimiento''' ''D'' es una subfamilia de ''C'', ''D'' ⊆⊆ ''C'' que sigue siendo un cubrimiento de ''A'' —esto es, una subcolección de conjuntos de ''C'' que aún cubre a ''A''—.
La definición de compacidad es entonces:
'''Ejemplo.'''
*El conjunto ''K'' = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 0} ⊆⊆ '''R''' con la topología heredada de la usual de '''R''' es compacto. En efecto, dado un [[entorno (topología)|entorno]] de 0, este incluye a todos los 1/''n'' salvo un número finito —ya que la sucesión {1/''n''}<sub>''n'' ∈∈ '''N'''</sub> [[convergencia (matemáticas)|converge]] a 0—. Así, dado un cubrimiento abierto de ''K'', tomando un abierto ''O'' que contenga a 0, y un abierto que contenga cada punto 1/''n'' no contenido en ''O'', esta subcolección finita cubre a ''K''.
*El [[intervalo abierto]] (0, 1) ⊆⊆ '''R''' no es compacto (con la topología usual heredada de '''R'''). En efecto, la familia { (0, 1 − 1/''n'') }<sub>''n'' > 1</sub> es un cubrimiento abierto del intervalo. Sin embargo, dada cualquier subfamilia finita, existe un (0, 1 − 1/''k'') en ella que contiene a los demás abiertos —buscando el ''k'' mínimo—, luego dicha subfamilia no cubre (0, 1) por entero.
=== Caracterizaciones equivalentes ===
{{teorema|1=Las siguientes afirmaciones sobre un [[espacio topológico]] ''X'' son equivalentes entre sí:
# ''X'' es compacto.
# Si {''F<sub>i''</sub>}<sub>''i'' ∈∈ ''I''</sub> es una familia de subconjuntos [[conjunto cerrado|cerradocerrados]]s en ''X'' con la [[propiedad de la intersección finita]], entonces <big>∩</big>∩<sub>''I''</sub>''F<sub>i</sub> ≠≠ ∅∅.
# Toda [[Red (matemática)|red]] en ''X'' admite una subred convergente.
# La función al punto <math>X\to\ast</math> es [[morfismo propio|propia]].
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