Diferencia entre revisiones de «Axioma de regularidad»

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ElEn [[teoría de conjuntos]], el '''axioma de regularidad''' o '''axioma de fundación''' es un [[axioma]] deque lapostula que ciertos [[teoría de conjuntos|Teoría de Conjuntosconjunto]]s (enmarcada«patológicos», encomo supor formulaciónejemplo deun [[Axiomáticaconjunto deque Zermelo-Fraenkel|Zermelo-Fraenkel-Skolem]]).se Escontenga conocidoa usualmentesí mismo como <math>Velemento, =no R</math>pueden existir. Fue establecidopropuesto por [[Zermelo]] en [[1930]] (si bien [[Von Neumann]] había propuesto eny [[1929Zermelo]] unoentre similar1925 dey formulación1930.<ref>Véase más{{Harvsp|Ferreirós|2007|loc=§2.2 compleja)y §2.3}}.</ref>
 
== Enunciado ==
La manera en la que se enuncia el axioma de regularidad es asegurando que cada conjunto posee un elemento que es [[disjunto]] con él:
{{definición|título=Axioma de regularidad|1=<math>\forall x (x A\neq \varnothing \Rightarrow ,,\,\exists yexist B\in x A: y A\cap x B= \varnothing)</math>}}
Una manera equivalente de enunciar el axioma de regulardidad es afirmando que todos los conjuntos son [[conjunto regular|regulares]], es decir, que la relación de pertenencia &isin; vista como un [[orden parcial]] tiene un [[elemento mínimo]] en todos los conjuntos. En particular, esto prohíble la existencia de una sucesión infinita de conjuntos de la forma ''x''<sub>1</sub> &ni; ''x''<sub>2</sub> &ni; ''x''<sub>3</sub> &ni; ... De este modo, es sencillo entender que el axioma de regularidad prohíbe la existencia de conjuntos «patológicos» —no regulares— tales como:
*''x'' = {''x''} : se tendría ''x'' &ni; ''x'' &ni; ...
*La pareja ''y'' = {''z''}, ''z'' = {''y''} : se tendría ''y'' &ni; ''z'' &ni; ''y'' &ni; ...
 
=== Rango ===
Podemos enunciar el axioma de regularidad afirmando que dado un conjunto no vacío <math>x</math>, existe siempre algún elemento suyo <math>y \in x</math> de manera que es disjunto con <math>x</math>. Formalmente:
Una de las conclusionesconsecuancias más importantes quedel produceaxioma de regularidad es la clasificación de quetodos cualquierlos conjuntoconjuntos puedepor obtenerse«etapas», construidas a partir del conjunto vacío mediante la reiterada aplicación de la [[Conjunto potencia|potenciación de conjuntos]]. DefinamosSe define para cada [[número ordinal (teoría de conjuntos)|ordinal]], según sea 0, un ordinal sucesor o un ordinal límite,:
{{definición|1={{ecuación|<math>R_0=\emptysetvarnothing\text{ , }R_{\alpha+1}=\mathcal P (R_\alpha)\text{ , }R_\lambda=\bigcup_{\alpha<\lambda}R_\alpha\text{ ,}
</math>}}
}}
TenemosSe tiene entonces el siguiente teorema:
{{teorema|1=Todo conjunto regular está en algún ''R''<sub><span class="texhtml">α</span></sub>.}}
Por esto, el axioma de regularidad se denota usualmente como «''V'' = ''R''», es decir, la [[clase universal]] (de la totalidad de conjuntos) y la clase ''R'' de los conjuntos regulares (la [[unión de conjuntos|unión]] de todos los ''R''<sub><span class="texhtml">α</span></sub>) son idénticas. Puede clasificarse entonces cada conjunto regular en algún ''R''<sub>&alpha;</sub>:
{{definición|1=El '''rango''' de un conjunto regular ''x'' es el mínimo ordinal ''<mathspan class="texhtml">\alphaα</mathspan>'' tal que ''x'' &isin; ''R''<sub>&alpha;<span class="texhtml">α</span>+1</sub>.}}
 
== Consistencia relativa ==
<math>\forall x (x \neq \varnothing \Rightarrow \exists y \in x : y \cap x = \varnothing)</math>
El axioma de regularidad (''V'' = ''R'') es totalmente independiente del resto de axiomas de [[axiomas de Zermelo-Fraenkel|ZF]] y [[teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel|NBG]]. La clase ''R'' de los conjuntos regulares es un [[teoría de modelos|modelo]] del resto de axiomas de ZF, luego de estos no puede probarse la existencia de un conjunto no regular, y asumir ''V'' = ''R'' es consistente. De modo similar, puede construirse un modelo del resto de ZF en el que aparezcan conjuntos del tipo ''x'' = {''x''}, luego es imposible probar la regularidad de todos los conjuntos, y asumir ''V'' &ne; ''R'' también es consistente.
 
== UsosReferencias ==
{{listaref}}
El axioma de regularidad es un axioma de tipo técnico, es decir, su uso es muy restringido en [[teoría de conjuntos]], y fue formulado ad hoc para evitar ciertas "patologías", como un conjunto ''x'' que se pertenezca a sí mismo (''x''&isin;''x''), puesto que dicho axioma es equivalente a afirmar que todos los conjuntos son [[conjunto regular|regulares]].
*{{cita libro|apellidos=Cohen|nombre=Paul J.|título=Set theory and the continuum hypothesis|año=1966|editorial=W.A. Benjamin|idioma=inglés|oclc=291078}} En II.5 describe el axioma de regularidad.
 
*{{cita libro|apellidos=Ferreirós|nombre=José|título=Labyrinth of Thought|editorial=Birkhäuser Verlag AG|año=2007|isbn=978-3-7643-8349-7|idioma=inglés}}
=== Rango ===
Una de las conclusiones más importantes que produce es la de que cualquier conjunto puede obtenerse a partir del conjunto vacío mediante la reiterada aplicación de la [[Conjunto potencia|potenciación de conjuntos]]. Definamos para cada [[número ordinal (teoría de conjuntos)|ordinal]], según sea 0, un ordinal sucesor o un ordinal límite,
{{ecuación|<math>R_0=\emptyset\text{ , }R_{\alpha+1}=\mathcal P (R_\alpha)\text{ , }R_\lambda=\bigcup_{\alpha<\lambda}R_\alpha\text{ ,}
</math>}}
Tenemos entonces el siguiente teorema:
{{teorema|La totalidad de los conjuntos regulares ''R'' puede obtenerse como unión de todos los ''R''<sub>&alpha;</sub>.}}
Según el axioma de regularidad, todos los conjuntos son regulares, lo que nos permite clasificar a cada conjunto ''x'' en algún ''R''<sub>&alpha;</sub>.
{{definición|El '''rango''' de un conjunto ''x'' es el mínimo ordinal <math>\alpha</math> tal que ''x''&isin;''R''<sub>&alpha;+1</sub>.}}
 
[[Categoría:Axiomas de la teoría de conjuntos|Regularidad]]
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