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Una '''categoría''' '''C''' consta de
* una clase ob('''C''') de '''objetos'''
* para cada par de objetos ''A'', ''B'' en ob('''C''') un conjunto '''C'''(''A'',''B'') de '''flechas''' o '''morfismos''' de ''A'' a ''B''.
* para cada terna de objetos ''A'', ''B'', ''C'' de '''C''' una función o:'''C'''(''A'',''B'')×'''C'''(''B'',''C'')→'''C'''(''A'',''C'') donde o(''f'',''g'') se denota gof''g'' ∘ ''f''.
 
Además, los siguientes axiomas deben ser ciertos:
* ([[asociatividadAsociatividad]]) para cualquier terna de flechas ''f'',''g'',''h'' se cumple que ''h'' ∘ ho(gof''g'' ∘ ''f'')=(hog''h'' ∘ ''g'')of ∘ ''f'', si es que estas composiciones están definidas.
* ([[identidadIdentidad]]) para todo objeto ''A'' en ob('''C''') existe una flecha en '''C'''(''A'',''A'') comunmentecomúnmente denotada 1<sub>''A''</sub> tal que para toda flecha ''f'' en '''C'''(''A'';''B'') ''f''=1<sub>''B''</sub>of ∘ ''f'' y ''f''=fo1''f'' ∘ 1<sub>''A''</sub>.
 
De estos axiomas se puede deducir facilmente que existe una única flecha identidad para cada objeto.