Diferencia entre revisiones de «Base canónica»
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Utilizando el operador interno [[aditivo]] ([[adición]] de [[vector]]es) y operador externo [[Multiplicación|producto]] (producto de un [[escalar]] por un [[vector]]) característicos de todo espacio vectorial, generan [[Combinación lineal|combinaciones lineales]] de la siguiente forma:
Sean λ , μ , ν (''se leen respectivamente: lambda,
Sea la base canónica para el espacio euclídeo <math>\mathcal {B} = \{ i, j, k \}</math> para el espacio <math>\mathbb R^3 </math>, siendo sus coordenadas referidas en ese espacio: <math>\{i (1,0,0) ; j (0,1,0); k (0,0,1)\}\,</math>
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== El subespacio vectorial de las rectas afínes ==
Una [[recta]] (la llamamos <span style="vertical-align:16%;"> <math>\overline {XX'} \;</math>)</span> está formada por un entramado [[infinito]] de [[punto]]s, si asociamos un [[vector director]]<span style="vertical-align:8%;"> <math> \mathbf i </math></span> a dicha recta. Cualquier vector contenido en <span style="vertical-align:16%;"> <math>\overline {XX'} \;</math></span> tendrá la forma:▼
▲Una [[recta]] (la llamamos
<math> \mathbf v = \lambda\cdot \mathbf i </math> <math> \forall \overrightarrow v \in </math> <span style="vertical-align:-12%;"> <math> \mathbb V </math> , <math> \forall \lambda \in \mathbb R </math> ▼
▲
siendo el [[parámetro]] λ un número real que multiplicado por el vector canónico <span style="vertical-align:8%;"><math> \mathbf i </math> </span> genera cualquier vector contenido en dicha recta. ▼
▲siendo el [[parámetro]] λ un número real que multiplicado por el vector canónico
El [[número real]] λ a través de la operación ''producto de un escalar por un vector'' genera un conjunto de infinitos vectores, todos ellos, pertenecientes al [[subespacio vectorial]] real <span style="vertical-align:10%;"> <math> \mathbb V </math></span>, el vector <span style="vertical-align:8%;"> <math> \mathbf i </math></span> al tener de módulo la unidad, realiza conversiones de escalares a vectores de la siguiente forma:▼
▲El [[número real]] λ a través de la operación ''producto de un escalar por un vector'' genera un conjunto de infinitos vectores, todos ellos, pertenecientes al [[subespacio vectorial]] real
* Módulo de <span style="vertical-align:8%;"> <math> \mathbf v \Rightarrow ||\overrightarrow v\| = \lambda </math>▼
▲* Módulo de
* Dirección: Otorgado por el escalar λ y en función del signo que tenga, y el vector <span style="vertical-align:8%;"><math> \mathbf i </math> </span>, al ser director de la recta XX', tiene la misma dirección que dicha recta, en caso de vector libre, paralelo a dicha recta.▼
▲* Dirección: Otorgado por el escalar λ y en función del signo que tenga, y el vector
λ > 0 <math>\Rightarrow</math> <math> \mathbf v = \lambda\cdot \mathbf i </math> > 0 y su dirección es hacia la derecha de la recta: X▼
▲
Por otro lado, es inevitable la existencia del vector <span style="vertical-align:8%;"><math> \mathbf 0 </math></span>, cuando λ = 0, el [[vector nulo]] es un vector especial ya que carece de módulo, en consecuencia, su dirección podría ser cualquiera, es una anomalía algebráica necesaria para fundamentar la estructura, ya que es consecuencia inmediata de la existencia del número [[cero]] proveniente del cuerpo de escalares.▼
▲Por otro lado, es inevitable la existencia del vector
Esta discusión es válida para cualquiera de los otros ejes coordenados <span style="vertical-align:16%;"> <math>\overline {YY'} \;</math> <span style="vertical-align:-16%;"> y </span> <math>\overline {ZZ'} \;</math>▼
▲Esta discusión es válida para cualquiera de los otros ejes coordenados
==Construcción del plano afín y espacio euclídeo ==▼
===Construcción mediante suma directa de subespacios vectoriales===▼
▲== Construcción del plano afín y espacio euclídeo ==
Considerando cada una de las rectas como variedades de un mismo tipo de subespacio vectorial, las denotaremos como <math> \mathbb V_x (\mathbb R) </math> , <math> \mathbb V_y (\mathbb R) </math> y <math> \mathbb V_z (\mathbb R) </math> las respectivas de los ejes de referencia: X , Y, Z.▼
▲=== Construcción mediante suma directa de subespacios vectoriales ===
▲Considerando cada una de las rectas como variedades de un mismo tipo de subespacio vectorial, las denotaremos como <math> \mathbb V_x (\mathbb R) </math>
La [[suma directa]] de estos subespacios vectoriales de dimensión unitaria es factible debido a que se cumple la condición que el único elemento que tienen en común es el punto {0}, es decir que:
:<math> \mathbb V_x (\mathbb R) \cap \mathbb V_y (\mathbb R) \cap \mathbb V_z (\mathbb R) = {{0}} </math>
===== Plano afín =====
La suma directa de los subespacios de las rectas afines X e Y generan el subespacio vectorial afín para el plano XY, considerado espacio vectorial del plano afín <span style="vertical-align:8%;"><math> \mathbb V^2(\mathbb R) </math></span> o sencillamente <span style="vertical-align:20%;"><math>\mathbb V^2</math></span>.▼
▲La suma directa de los subespacios de las rectas afines X e Y generan el subespacio vectorial afín para el plano XY, considerado espacio vectorial del plano afín
Siendo la dimensión de este espacio 2 (largo x ancho):▼
dim <math>({V_x} \oplus {V_y} )</math> = 2 .▼
La base canónica estará formada por los vectores <math>\mathbf{i} ( 1, 0 ), \mathbf{j} ( 0, 1 )</math>
Para todo <math> En coordenadas de la base canónica:
:<math>u (
===== Espacio euclídeo =====
Si además, introducimos como sumando al subespacio vectorial asociado al eje z, obtenemos el espacio vectorial euclídeo:
:<math>({V_x} \oplus {V_y} \oplus {V_z} )</math>
La dimensión es 3 (largo x ancho x alto), luego se requieren al menos tres vectores para constituir la base, siendo la base canónica la constituída por los vectores
Este espacio tiene las siguientes notaciones:
:<math>{V_x} \oplus {V_y} \oplus {V_z} \; \thickapprox \mathbb V_{x}(\mathbb R) \oplus \mathbb V_{y}(\mathbb R) \oplus \mathbb V_{z}(\mathbb R) \thickapprox \mathbb V^3(\mathbb R) \thickapprox \mathbb V^3 </math>
Considerando que la recta que contiene el eje de cotas es una variedad del mismo tipo de subespacio vectorial que existe en las rectas que contienen a los otros ejes , se denota como <math> \mathbb V_z (\mathbb R) </math>.
Línea 114 ⟶ 117:
En coordenadas de la base canónica para <math> \mathbb V_3</math>
:<math>u (
=== Construcción mediante producto cartesiano ===
Basándonos nuevamente en los subespacios vectoriales asociados a la recta afín, podemos obtener los espacios vectoriales afín y euclídeo usando el [[producto cartesiano]].
El espacio vectorial afín se genera a partir del cartesiano de los subespacios asociados a los ejes de abscisas y ordenadas.
De esta forma se generan pares ordenados de elementos en la forma <math>(
Esta es la forma en que se expresa un vector de <math>\mathbb V^2(\mathbb R)</math> mediante coordenadas.
Si añadimos en el cartesiano, el factor <math>
:<math> \mathbb V_x (\mathbb R) \; \mathbf {X} \; \mathbb V_y (\mathbb R) \; \mathbf {X} \; \mathbb V_z (\mathbb R) \qquad \thickapprox \qquad \mathbb V_x \; \mathbf {X} \; \mathbb V_y \; \mathbf {X} \; \mathbb V_z \qquad </math>.
:<math>\qquad</math> Los pares ordenados que se generan, están basados en el producto cartesiano anterior <math> \mathbb V_x \; \mathbf {X} \; \mathbb V_y \;</math>
:<math>(
▲( x, y ) <math> \in \; \mathbb V_x \; \mathbf{X} \; \mathbb V_y \; </math> y además z <math> \in \; \mathbb V_z </math>.
La [[bina]] será de la forma [(x,y), z] por lo que es más eficaz establecer la [[terna]] ( x, y, z) como las coordenadas del vector <math>\mathbf{a} </math> <math> \in \; \mathbb V^3 </math>.
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