Diferencia entre revisiones de «Conmensurabilidad»

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La idea central del concepto conmensurabilidad no sólo es la posibilidad de comparación, sino la existencia de un factor común que pueda ser expresado.
 
El uso proviene de las traducciones de ''[[Elementos de Euclides|Los Elementos de Euclides]]'', en que dos segmentos, <math>a</math> y <math>b</math>, son llamados conmensurables precisamente si hay un tercer segmento, <math>c</math>, que puede ser usado una entera cantidad de veces entera para producir un segmento congruente a <math>a</math>, y tambiénotra concantidad unde númeroveces enterotambién distinto,entera para producir un segmento congruente a <math>b</math>. [[Euclides]] no usó ningún concepto de número real, pero usó unala noción de la congruencia de los segmentos, y que un segmento era más largo o más corto que el otro.
 
Que ''a/b'' sea racional es una [[condición necesaria y suficiente]] para la existencia delde un número real <math>c</math>, y [[números enteros]] <math>m</math> y <math>n</math>, paratales que <math>a = mc</math> y que <math>b = nc</math>
:<math>a = mc</math> y <math>b = nc</math>
 
Asumiendo por simplicidad que tanto <math>a</math> como <math>b</math> son [[número positivo|números positivos]], uno puede decir que una [[regla (instrumento)|regla]], marcada en unidades de distancialongitud <math>c</math>, se puede ser usadausar para medir tanto un [[segmento]] de longitud <math>a</math> ycomo uno de longitud <math>b</math>. Eso significa que hay una unidad común de [[distancia]] en términos ende losla cualescual, tanto <math>a</math> como <math>b</math> se pueden ser medidosmedir; de ahí la conmensurabilidad. Si no fuese de otra maneraasí, el par <math>a</math> y <math>b</math> sería inconmensurable.
 
En la [[teoría de grupos]], unase generalizaciónpuede degeneralizar a pares de [[subgrupo]]s es obtenido al notarnotando que en el caso dado, los subgrupos de lalos [[recta real]]enteros (como [[grupo aditivo]],) generadogenerados respectivamente por <math>a</math> y por <math>b</math>, interceptase intersecan en el subgrupo generado por <math>dcd</math>, donde <math>d</math> es el [[mínimo común múltiplo]] de <math>ma</math> y <math>nb</math>. EstoLa esintersección deltiene [[Índice (Teoría de grupos)|índice]] finito en cadalos unoenteros, y dapor lugarlo atanto unaen nocióncada generaluno de los subgrupos. conmensurables:En general, los subgrupos ''A'' y ''B'' de un grupo son conmensurables cuando su intersección tiene un índice finito en cada uno. de ellos.
 
UnaPara relación puede ser definida similarmente enlos subespacios de un [[espacio vectorial]] se puede definir una relación similar, en términos de [[Operador de proyección|proyecciones]] que tienen unanúcleo y conúcleo de [[dimensión]] finita [[alkernel]] y [[cokernel]].
 
En cambio, dos [[subespacio vectorial|subespacios]] <math>\mathrm{A}</math> y <math>\mathrm{B}</math> que son dados sobre unaun [[álgebra de Lie]] <math>\mathcal{O},</math> no son necesariamente conmensurables si son descritos como representaciones dimensionales infinitas. Además, si los [[Espacio completo|espacios completos]] de tipos de [[Módulo (matemática)|módulo]] <math>\mathcal{O}</math> correspondiente a <math>\mathfrak{H}</math> y <math>\mathfrak{G}</math> no son [[bien definido]]s, entonces <math>\mathfrak{G}</math> y <math>\mathfrak{H}</math> son inconmensurables.
 
== Inconmensurabilidad ==
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