La idea intuitiva de este concepto es que no hay nada "pegado" a <math>X</math> y que no esté en <math>(X,d)</math>.
La importancia de los espacios completos esradica queporque en ellos es mucho más fácil demostrar que una sucesión es de Cauchy, aen quevez converge,de dadoprobar que la sucesión es convergente. Pues, para demostrar que una sucesión es de Cauchy no se necesita conocer el valor al que converge.
Una vez demostradaprobada que la sucesión es de Cauchy, por la completitud del espacio, se llega acolige que la sucesión converge. Se ha podido construir en ellos métodos poderosos para demostrar la existencia de soluciones de ecuaciones (v.) numéricas, diferenciales o integrales encon determinadas condiciones iniciales.
== Ejemplos ==
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* No obstante, todo [[Intervalo (matemática)|intervalo]] cerrado de los reales es completo.
* Otro subespacioespacio no completo de los reales es el conjunto de los [[Número racional|números racionales]], <math>\mathbb{Q}</math> con la misma métrica valor absoluto. Efectivamente, existen sucesiones de números racionales que convergen a [[números irracionales]]. Por ser sucesiones convergentes (al menos, dentro de <math>\mathbb{R}</math>), son de Cauchy. PerPero su límite no es racional, es decir, está fuera del espacio.
