Diferencia entre revisiones de «Transformación afín»
Contenido eliminado Contenido añadido
m Plantilla: {{referencias}}, usando Fastbuttons |
Sin resumen de edición |
||
Línea 5:
<math>\mathbf{x} \mapsto \mathbf{A}\mathbf{x}+ \mathbf{b}</math>
||left}}
En el caso de dimensión finita, toda transformación afín puede representarse por una matriz <math>\scriptstyle \mathbf{A}</math> y un vector <math>\scriptstyle \mathbf{b}</math> que satisfacen ciertas propiedades que se especifican a
# Las relaciones de [[Punto (geometría)|colinealidad]] (y [[Plano (geometría)|coplanaridad]]) entre puntos, es decir, puntos que recaían sobre una misma línea (o sobre un mismo plano) antes de la transformación, son preservadas tras una transformación afín.
# Las razones entre distancias a lo largo de una línea, es decir, para tres puntos alineados distintos <math>\scriptstyle P_1, P_2, P_3,</math> las razones <math>\scriptstyle |\overline{P_2P_1}| / |\overline{P_3P_2}|</math> antes y después de la transformación son iguales.
Línea 45 ⟶ 43:
{{ecuación|
<math> \begin{bmatrix} \mathbf{A}^{-1} & -\mathbf{A}^{-1}\vec{b} \ \\
▲Las tranformaciones afines invertibles (de un espacio afín en sí mismo) forman el llamado grupo afín que como se ha mencionado tiene al [[grupo lineal]] de orden ''n'' como subgrupo. El propio grupo afín de orden ''n'' es a su vez subgrupo del grupo lineal de orden ''n''+1.
<!--
Línea 60 ⟶ 56:
*for all ''b'' the transformation has exactly one [[Fixed point (mathematics)|fixed point]]
*there is a ''b'' for which the transformation has exactly one fixed point
*affine transformations with matrix ''A'' can be written as a
If there is a fixed point, we can take that as the origin, and the affine transformation reduces to a linear transformation. This may make it easier to classify and understand the transformation. For example, describing a transformation as a rotation by a certain angle with respect to a certain axis is easier to get an idea of the overall behavior of the transformation than describing it as a combination of a translation and a rotation. However, this depends on application and context. Describing such a transformation for an ''object'' tends to make more sense in terms of rotation about an axis through the center of that object, combined with a translation, rather than by just a rotation with respect to some distant point. As an example: "move 200 m north and rotate 90° anti-clockwise", rather than the equivalent "with respect to the point 141 m to the northwest, rotate 90° anti-clockwise".
| |||