Diferencia entre revisiones de «Fibrado»
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La aplicación <math> \pi </math> es abierta por ser una proyección en un producto cartesiano y ''B'' tiene la topología cociente. El espacio <math>B \,</math> se llama el '''espacio de base''' del fibrado, <math>E \,</math> el '''espacio total''', para cualquier <math>x \in B \,</math>, <math>\pi^{-1}(x) \,</math> se llama la fibra en <math>x \,</math> y la función <math>\pi \,</math> se llama la proyección. Se denota <math>E|_U=\pi^{-1}(U)</math> y se dice que <math>\pi</math> es ''localmente trivial'' y el par <math>(U,\phi)</math> es una ''trivialización local''. Es habitual escribir <math>E</math> en vez de <math>(E,B,\pi,F)</math> si <math>B,\pi</math> y <math>F</math> se pueden entender por contexto y decir que ''E'' es un ''fibrado sobre B''.
== Ejemplos ==
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Un ''morfismo vertical'' en un fibrado <math>(E,B,\pi,F)</math> es un morfismo <math>(f,\widetilde{f})</math> con <math>f=Id_B</math>. Un primer paso en la clasificación de fibrados es fijar el espacio base ''B'' y clasificar los fibrados con base ''B'' salvo isomorfismo.
== Operaciones ==
En esta sección introducimos posibles operaciones en la categoría de fibrados en espacios topológicos. Para fibrados particulares es posible desarrollar operaciones específicas, por ejemplo las operaciones de álgebra lineal como el ''espacio dual'', el ''determinante'', el ''producto tensorial'' y el ''producto exterior'' extienden a las correspondientes nociones para fibrados vectoriales. Las operaciones aquí descritas son generales.
El '''pull-back''' de fibrados es una de las operaciones de ''cambio de base''. Sea <math>(E,B,\pi,F)</math> un fibrado y <math>f:B'\longrightarrow B</math> una aplicación contínua. El fibrado '''pull-back''' de ''E'' a través de ''f'' tiene por espacio total
<div style="text-align: center;">
<math>f^{*}E:=\{(x',e)\in B'\times E|f(x)=\pi(e)\}</math>
</div>
con aplicación proyección <math>\pi':f^*E\longrightarrow B'</math>, <math>\pi'(x',e)=x'</math>. Entonces es sencillo demostrar que <math>(f^*E,B',\pi',F)</math> es un fibrado. Nótese que las fibras de <math>E</math> y <math>f^*E</math> son isomorfas y que existe un morfismo natural de <math>f^*E</math> y <math>E</math>.
Esta operación es functorial contravariante con respecto a la composición de morfismos, es decir, <math>f^*(g^*E)=(g\circ f)^*E</math> y <math>id^*E=E</math>. El fibrado ''pull-back'' depende en general de ''E'' y de la aplicación ''f'' pero si ''E'' es un fibrado trivial <math>f^*E</math> también.
La '''restricción''' de fibrados. Sea <math>A\subset B</math> un subespacio, <math>i:A\longrightarrow B</math> la inclusión y ''E'' un fibrado sobre ''B''. El fibrado ''restricción'' de E al subespacio A es el fibrado <math>i^*E</math>.
El '''producto''' (cartesiano) de dos fibrados <math>(E,B,\pi,F)</math> y <math>(E',B',\pi',F')</math> es el fibrado <math>(E\times E',B\times B',\pi\times\pi',F\times F')</math>.
Si E y E' son fibrados sobre la misma base ''B'', el '''producto fibrado sobre B''' se define como
<div style="text-align: center;">
<math>E\times_B E':=\{(e,e')\in E\times E'|\pi(e)=\pi'(e')\}\longrightarrow B.</math>
</div>
Las fibras son por tanto isomorfas a <math>F\times F'</math>. Nótese que el fibrado <math>E\times_BE'</math> no es más que la restricción del fibrado producto cartesiano a la diagonal <math>\Delta_B\subset B\times B</math> con la identificación <math>\Delta_B\cong B</math>.
== Secciones ==
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