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* La predicción del modelo es que los agentes escogerán producciones en el [[equilibrio de Nash]].
== CalculatingCalculando theel equilibriumequilibrio ==
InEn verytérminos generalmuy termsgenerales, letsea thela pricefunción functionde forprecios thepara (duopoly)una industryindustria be(duopolio) <math>P(q_1+q_2)</math> andy firmla firma <math>i</math> havetiene thela costfunción structurede costos <math>C_i(q_i)</math>. ToPara calculatecalcular theel Nashequilibrio equilibriumde Nash, the [[best response|best response functions]] oflas thefunciones firmsde mustreacción firstdeben becalcularse calculatedprimero.
El beneficio de la firma <math>i</math> es el beneficio menos los costos. El beneficio es el producto del precio por las cantidades y el costo es dado por la función de costos de la firma, así que las ganancias (como se describieron arriba) son:
The profit of firm i is revenue minus cost. Revenue is the product of price and quantity and cost is given by the firm's cost function, so profit is (as described above):
<math>\Pi_i = P(q_1+q_2).q_i - C_i(q_i)</math>. TheLa bestmejor responserespuesta ises toencontrar findel thevalor value ofde <math>q_i</math> thatque maximisesmaximize <math>\Pi_i</math> givendado <math>q_j</math>, withcon <math>i \ne \ j</math>, i.e. givense someencuentra outputla ofproducción theque opponentmaximiza firmel beneficio, thedado una producción outputde thatla maximisesfirma profitdel isotro foundduopolista. HenceEntonces, these maximumdebe ofbuscar el máximo valor de <math>\Pi_i</math> withcon respectrespecto toa <math>q_i</math> is to be found. FirstPrimero takese thetoma derivativela ofderivada de <math>\Pi_i</math> with respectcon torespecto a<math>q_i</math>:
:<math>\frac{\partial \Pi_i }{\partial q_i} = \frac{\partial P(q_1+q_2) }{\partial q_i}.q_i + P(q_1+q_2) - \frac{\partial C_i (q_i)}{\partial q_i}</math>
Se iguala a cero para encontrar un máximo
Setting this to zero for maximization:
:<math>\frac{\partial \Pi_i }{\partial q_i} = \frac{\partial P(q_1+q_2) }{\partial q_i}.q_i + P(q_1+q_2) - \frac{\partial C_i (q_i)}{\partial q_i}=0</math>
TheLos valuesvalores ofde <math>q_i</math> thatque satisfysatisfacen thisesta equationecuación areson thelas bestmejores responsesrespuestas. TheLos Nashequilibrios equilibriade areNash whereson bothdonde ambos <math>q_1</math> andy <math>q_2</math> areson las bestmejores responsesrespuestas givendados thoselos valuesvalores ofde <math>q_1</math> andy <math>q_2</math>.
=== AnUn exampleejemplo ===
SupposeSuponga theque industryla hasindustria thetiene followingla pricesiguiente structurefunción de precios: <math>P(q_1+q_2)= a - (q_1+q_2)</math> TheEl profitbeneficio ofde firmla firma <math>i</math> (withcon la función costde structurecostos <math>C_i(q_i)</math> suchtal thatque <math>\frac{\partial ^2C_i (q_i)}{\partial q_i^2}=0</math> andy <math>\frac{\partial C_i (q_i)}{\partial q_j}=0, j \ne \ i</math> forpor easefacilidad ofde computationcálculo) ises:
:<math>\Pi_i = \bigg(a - (q_1+q_2)\bigg).q_i - C_i(q_i)</math>
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