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El '''muestreo digital''' es una de las partes del proceso de [[Digitalización|digitalización]] de las señales. Consiste en tomar [[Muestra (señal)|muestras]] de una [[señal analógica]] a una [[frecuencia]] o tasa de muestreo constante, para [[Cuantificación digital|cuantificarlas]] posteriormente.
== Descripción del proceso ==
El muestreo está basado en el [[Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon|teorema de muestreo]], que es la base de la representación discreta de una señal continua en banda limitada. Es útil en la digitalización de señales (y por consiguiente en las [[telecomunicaciones]]) y en la codificación del sonido en formato digital.
Independientemente del uso final, el error total de las muestras será igual al error total del sistema de adquisición y conversión más los errores añadidos por el ordenador o cualquier sistema digital.
Para dispositivos incrementales, tales como motores paso a paso y [[conmutador]]es, el error medio de los datos muestreados no es tan importante como para los dispositivos que requieren señales de control continuas.
== Muestreo teórico ==
Sea la señal de banda limitada y paso-bajo <math>x(t)\,</math> ([[dominio del tiempo]]) cuyo espectro <math>X(f)\,</math> ([[dominio de la frecuencia]]) es nulo para: <math>|f| > W\,</math>. Sea también la onda:
:<math>S_{\delta}(t) = \sum_{m} \delta(t - mT_s)\,</math>
El producto <math>x(t) \cdot S_\delta(t)</math> es una onda formada por deltas de peso igual a las muestras de <math>x(t)\,</math>:
:<math>x_{\delta}(t) = x(t) \cdot S_\delta(t) = x(t) \cdot \sum_{m}\delta(t - mT_s) = \sum_{m}x(mT_s) \cdot \delta (t - mT_s)</math>,
que dará lugar a otro ''tren'' de deltas:
[[Archivo:Fig81.jpeg|thumb|right|450px|Función escala fs.]]
:<math>S_{\delta}(f) = f_s \sum_{m}\delta(f - mf_s); \quad f_s = \frac{1}{T_s}</math>
La transformada de <math>x_\delta(t)\,</math> es la de <math>x(t)\,</math> repetida y centrada en cada armónico de la [[frecuencia de muestreo]], exceptuando el término constante o la función escala <math>fs\,</math>.
No se producirá solapamiento entre los espectros parciales de <math>X_\delta(f)\,</math> si se verifica que:
:<math>\begin{array}{rcl}
fs - W & \geq & W \\
fs & \geq & 2W
\end{array}</math>
De la observación del espectro <math>X_\delta(f)\,</math> se deduce la posibilidad de recuperar <math>x(t)\,</math> simplemente pasando <math>x_\delta(t)\,</math> por un [[filtro paso-bajo]] cuya [[frecuencia de corte]] <math>B\,</math> cumpla la condición:
:<math>W \leq B \leq fs - W</math>
== Teorema de Muestras ==
[[Archivo:Fig82.jpg|thumb|right|450px|Espectro X(f) de la señal paso-bajo.]]
Se considera la señal paso-bajo <math>x(t)\,</math>, que cumple: <math>X(f) = 0\,</math> para <math>|f| > W\,</math>, cuyo espectro <math>X(f)\,</math> se representa en la figura.
Es posible establecer un desarrollo en [[Serie de Fourier]] de <math>X(f)\,</math>, limitado a <math>|f| \leq W\,</math> del modo siguiente:
:<math>X(f) = \sum_{n} C_n \cdot e^{j 2\pi n \frac{f}{2W}}</math>,
en dónde los coeficientes <math>C_n\,</math> del desarrollo vienen dados por:
:<math>C_n = \frac{1}{2W} \int_{-W}^{W} X(f) \cdot e^{-j 2\pi n \frac{f}{2W}} df</math>
Ahora bien, si <math>x(t)\,</math> es la transformada inversa de <math>X(f)\,</math>:
:<math>x(t) = \int_{-W}^{W} X(f) e^{j 2 \pi ft} df</math>,
de dónde se infiere una relación inmediata entre los <math>C_n\,</math> y valores particulares de <math>x(t)\,</math>, concretamente:
:<math>C_n = \frac{1}{2W} \cdot x(-\frac{n}{2W})</math>
Así pues, puede escribirse el espectro <math>X(f)\,</math> de <math>x(t)\,</math> en términos de las propias [[Muestra (señal)|muestras]] <math>x(-\frac{n}{2W})\,</math> de <math>x(t)\,</math> sin más que sustituir los valores de <math>C_n\,</math> dados en la ecuación anterior:
:<math>X(f) = \sum_{n} \frac{1}{2W} x(\frac{n}{2W}) e^{-j2\pi n \frac{f}{2W}}\,</math>
Para hallar los términos de <math>x(t)\,</math> bastará con calcular la transformada inversa, resultando así:
:<math>x(t) = \sum_{n} x(\frac{n}{2W}) \cdot sinc 2W(t - \frac{n}{2W})\,</math>
Obsérvese que éste resultado es consecuencia de la limitación de banda <math>x(t)\,</math> y que la operación de muestreo aparece en el curso de la especificación de <math>X(f)\,</math>. De esta manera, se demuestra el denominado '''Teorema de Muestras''', el cual afirma que toda señal de banda limitada puede expresarse de modo único en función de sus [[Muestra (señal)|muestras]] o valores puntuales tomados a intervalos regulares <math>T_s\,</math>. El valor de <math>T_s\,</math> será tal que: <math>\frac{1}{T_s} \geq 2W\,</math>, siendo <math>W\,</math> la ''máxima frecuencia espectral de la señal''.
Este teorema es igualmente válido, adaptando ciertas condiciones para ''muestreo no uniforme'' y por supuesto para señales [[Filtro paso banda|paso banda]], dependiendo en éste caso de la ''frecuencia de muestreo de la anchura de banda de paso'' y de la ''frecuencia central de la señal''.
Como corolario del teorema, se puede afirmar que dada la colección discreta de valores <math>x(\frac{n}{2W})\,</math> existe una función <math>x(t)\,</math> y sólo una de banda limitada a <math>W\,</math> que pasa por todos los puntos dados y se construye mediante la última ecuación.
== Muestreo práctico ==
[[Archivo:Instantaneo.jpg|thumb|right|450px|Muestreo práctico instantáneo.]]
[[Archivo:Natural.jpg|thumb|right|450px|Muestreo práctico natural.]]
El [[Teorema de muestreo]] no impone ninguna exigencia en cuanto al modo de obtener las muestras, por lo que la señal se podrá reconstruir a partir de algún método más susceptible de implementación práctica.
El muestreo práctico difiere del teórico en tres aspectos principales:
* La onda muestreadora está constituida por ''trenes de impulsos'' de duración no nula.
* Los filtros prácticos de reconstrucción no son ideales.
* Los mensajes a los que se aplica el teorema no están estrictamente limitados en banda, ni pueden, ya que se trata de señales limitadas en el tiempo.
=== Clases de muestreo práctico ===
Sea un impulso arbitrario cualquiera <math>p(t)\,</math>, tal que: <math>p(t) = 0\,</math> para <math>|t| \geq \frac{T_s}{2}\,</math> (lo que evita que se solapen los impulsos básicos) y sea la onda:
:<math>s(t) = \sum_{m} p(t - mT_s)\,</math>
Una posible forma de transmitir las [[Muestra (señal)|muestras]] <math>x(t)\,</math> es utilizar las [[Muestra (señal)|muestras]] como amplitud del impulso m-ésimo, centrado en el instante del muestreo, es decir, formar la señal:
:<math>x_{pi}(t) = \sum_{m} x(mT_s) \cdot p(t - mT_s)</math>,
que es un tren de impulsos, cada uno de los cuales viene afectado por un factor de escala (''peso'' o ''amplitud'') igual al valor instantáneo <math>x(mT_s)\,</math>. La señal anterior constituye un ejemplo básico de '''muestreo práctico instantáneo'''.
En el caso del '''muestreo práctico natural''', en vez de afectar a cada impulso con un valor instantáneo de <math>x(t)\,</math> se le multiplica punto a punto por cada uno de los valores de <math>x(t)\,</math> en el intervalo de existencia, en otras palabras, se forma el producto genérico <math>x(t)\,</math>. Sumando tales productos se obtiene este tipo de muestreo, que se puede representar mediante la ecuación:
:<math>x_{pn} = x(t) \sum_{m} p(t - mT_s)\,</math>
== Influencia de los filtros ==
La influencia de los filtros de reconstrucción no ideales se observa fácilmente en el [[dominio de la frecuencia]]. En la siguiente figura se representa parte del espectro de una señal muestreada, supuesto sin distorsión y una posible característica de transferencia de un [[filtro paso-bajo]] real.
[[Archivo:Figura96.jpeg|thumb|right|450px|Fragmento del espectro de una señal muestreada.]]
Si tal característica es razonablemente plana en la banda pasante de la señal <math>|f| < W\,</math>, la salida del filtro consistirá en <math>x(t)\,</math> más unas componentes en frecuencias próximas a <math>T_s - W\,</math> fuera de dicha banda. Sin embargo estas componentes están fuertemente atenuadas en relación con las del espectro básico de <math>x(t)\,</math>.
Para señales vocales esas componentes como zumbidos de alta frecuencia sólo están presentes cuando lo está la señal <math>x(t)\,</math> que por su mayor nivel, tiende a enmascararlas, y por tanto su presencia es fácilmente tolerable. Éstas componentes pueden suprimirse mediante un diseño adecuado del filtro y para un filtro dado, aumentando la frecuencia de muestreo (y por consiguiente <math>f_s - W\,</math>) e introduce [[bandas de guarda]] en el [[Espectro de frecuencias|espectro]].
== El teorema de muestras práctico ==
Se puede resumir el enunciado del Teorema contemplando señales y métodos de muestreo reales, del modo siguiente: Si una señal <math>\,x(t)</math> ha sido filtrada en paso-bajo de modo que tiene componentes espectrales por encima de <math>W\,</math>, puede describirse adecuadamente para muchas aplicaciones mediante muestras instantáneas o de duración no nula, separadas uniformemente en el tiempo por un intervalo <math>T_s \leq \frac{1}{2}W\,</math>.
Si se ha muestreado la señal al [[régimen de Nyquist]] o mayor y las muestras se representan mediante impulsos periódicos cuya amplitud sea proporcional a sus valores, puede reconstruirse aproximadamente la señal a partir de sus muestras mediante un filtraje paso-bajo.
== Véase también ==
* [[Muestra (señal)]]
* [[Muestreo temporal]]
* [[Muestreo espacial]]
* [[Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon]]
* [[Conversión analógica-digital]]
* [[Frecuencia de muestreo]]
* [[Audio digital]]
* [[Cuantificación digital]]
* [[Ruido de cuantificación]]
* [[Codificación digital]]
[[Categoría:Electrónica digital]]
[[Categoría:Procesamiento digital de señales]]
[[Categoría:Audio digital]]
[[ar:استعيان]]
[[bg:Дискретизация]]
[[ca:Mostratge]]
[[cs:Vzorkování]]
[[da:Sampling]]
[[de:Abtastung (Signalverarbeitung)]]
[[el:Δειγματοληψία σήματος]]
[[en:Sampling (signal processing)]]
[[eo:Specimenado]]
[[et:Sämplimine]]
[[fa:نمونهبرداری (پردازش سیگنال)]]
[[fr:Échantillonnage (signal)]]
[[he:דגימה (עיבוד אותות)]]
[[it:Campionamento (teoria dei segnali)]]
[[ja:標本化]]
[[ko:표본화]]
[[mhr:Дискретизаций]]
[[nl:Sample]]
[[nn:Sampling]]
[[no:Sampling (signalbehandling)]]
[[pl:Próbkowanie]]
[[pt:Amostragem de sinal]]
[[ro:Eșantionare (procesare de semnal)]]
[[ru:Дискретизация]]
[[sr:Узорак (статистика)]]
[[su:Sampling]]
[[uk:Дискретизація]]
[[vi:Lấy mẫu (xử lý tín hiệu)]]
[[zh:取樣]]
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