Diferencia entre revisiones de «Modelo de Debye»

En la [[termodinámica]] y [[física del estado sólido]], el '''modelo de Debye''' es un método desarrollado por [[Peter Debye]] en 1912<ref>'Zur Theorie der spezifischen Waerme', ''Annalen der Physik (Leipzig)'' 39(4), p. 789 (1912).</ref> para la estimación de la contribución de los [[fonón|fonones]] al [[calor específico]] en un [[sólido]]. Trata las vibraciones de la red atómica (calor) como fonones en una caja, en contraste con el modelo de [[Albert Einstein|Einstein]], que modeliza los sólidos como muchos [[oscilador armónico cuántico|osciladores armónicos cuánticos]] no interactuantes entre sí. El modelo de Debye predice correctamente la dependencia a temperaturas bajas de la capacidad calorífica, que es proporcional a <math>T^3</math>. Al igual que el modelo de Einstein, también recupera la [[ley de Dulong-Petit]] a altas temperaturas; sin embargo, debido a la simplicidad de los supuestos sobre los que se apoya, resulta deficiente a la hora de explicar los fenómenos observables a temperaturas intermedias.

El modelo de Debye es un modelo de la [[física del estado sólido]] equivalente a la [[ley de Planck]] de la radiación del [[cuerpo negro]], que trata la [[radiación electromagnética]] como un gas de [[fotón|fotones]] en una caja. El modelo de Debye trata las vibraciones atómicas como fonones en una caja (la caja es el sólido). La mayor parte del desarrollo teórico es idéntica.

ConsideremosConsidérese un cubo de lado <math>L</math>. Del artículo [[partícula en una caja]] sabemosse sabe que la resonancia de los modos de las perturbaciones sonoras en el interior de la caja (considerando por ahora sólo los alineados con alguno de los ejes) tienen longitudes de onda dadas por :

:{{ecuación |<math>\lambda_n = {2L\over n}\,,</math> }}

En tres dimensiones emplearemosse emplea:

:{{ecuación |<math>E_n^2=E_{nx}^2+E_{ny}^2+E_{nz}^2=\left({hc_s\over2L}\right)^2\left(n_x^2+n_y^2+n_z^2\right)\,.</math> }}

VamosCalcúlese ahora a calcular la [[energía]] total en la caja,

:{{ecuación | <math>U = \sum_n E_n\,\bar{N}(E_n)\,,</math> }}

:{{ecuación |<math>U = \sum_{n_x}\sum_{n_y}\sum_{n_z}E_n\,\bar{N}(E_n)\,.</math> }}

Aquí es donde el '''modelo de Debye''' y la [[ley de Planck]] de la radiación del cuerpo negro difieren. Al contrario de lo que pasa con la radiación electromagnética en una caja, existe un número finito de [[Nivel energético|estados de energía]] posibles para los fonones, pues un [[fonón]] no puede tener frecuencia infinita. Su frecuencia está limitada por el medio por el que se propaga (la red atómica del sólido). ObservemosObsérvese la siguiente ilustración de un fonón propagándose transversalmente.

:{{ecuación |<math>\lambda_{\rm min} = {2L \over \sqrt[3]{N}}\,,</math> }}

:{{ecuación | <math>n_{\rm max} = \sqrt[3]{N}\,.</math> }}

:{{ecuación | <math>U = \sum_{n_x}^{\sqrt[3]{N}}\sum_{n_y}^{\sqrt[3]{N}}\sum_{n_z}^{\sqrt[3]{N}}E_n\,\bar{N}(E_n)\,.</math> }}

:{{ecuación | <math>U \approx\int_0^{\sqrt[3]{N}}\int_0^{\sqrt[3]{N}}\int_0^{\sqrt[3]{N}} E(n)\,\bar{N}\left(E(n)\right)\,dn_x\, dn_y\, dn_z\,.</math> }}

:{{ecuación | <math>\langle N\rangle_{BE} = {1\over e^{E/kT}-1}\,.</math> }}

Dado que un fonón tiene tres estados posibles de polarización (uno [[onda longitudinal|longitudinal]] y dos [[onda transversal|transversales]] que prácticamente no afectan a su energía) hemosse ha de multiplicar la fórmula anterior por 3,

:{{ecuación | <math>\bar{N}(E) = {3\over e^{E/kT}-1}\,.</math> }}

En realidad se utiliza una ''velocidad sónica efectiva'' <math>c_s:=c_{{\rm eff}}</math>, es decir, que la temperatura de Debye <math>T_d</math> (ver más adelante) es proporcional a <math>c_{{\rm eff}}</math>. Más rigurosamente, <math>T_D^{-3}\propto c_{{\rm eff}}^{-3}:=(1/3)c_{{\rm long}}^{-3}+(2/3)c_{{\rm trans}}^{-3}</math>, donde podemosse puedes distinguir las contribuciones longitudinal y transversal a la velocidad del sonido (1/3 y 2/3 respectivamente). La temperatura de Debye o la velocidad efectiva del sonido es una medida de la [[dureza]] del [[cristal]].

Sustituyendo esto en la integral de la energía llegamosse allega a:

:{{ecuación | <math>U = \int_0^{\sqrt[3]{N}}\int_0^{\sqrt[3]{N}}\int_0^{\sqrt[3]{N}} E(n)\,{3\over e^{E(n)/kT}-1}\,dn_x\, dn_y\, dn_z\,.</math> }}

:{{ecuación | <math>\ (n_x,n_y,n_z)=(n\cos \theta \cos \phi,n\cos \theta \sin \phi,n\sin \theta )</math> }}

:{{ecuación | <math>U \approx\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2}\int_0^R E(n)\,{3\over e^{E(n)/kT}-1}n^2 \sin\theta\, dn\, d\theta\, d\phi\,,</math> }}

:{{ecuación | <math>N = {1\over8}{4\over3}\pi R^3\,,</math> }}

y así llegamosse llega a:

:{{ecuación | <math>R = \sqrt[3]{6N\over\pi}\,.</math> }}

:{{ecuación | <math>U = {3\pi\over2}\int_0^R \,{hc_sn\over 2L}{n^2\over e^{hc_sn/2LkT}-1} \,dn</math> }}

:{{ecuación | <math>U = {3\pi\over2} kT \left({2LkT\over hc_s}\right)^3\int_0^{hc_sR/2LkT} {x^3\over e^x-1}\, dx</math> }}

Para simplificar el aspecto de esta expresión, definamosdefínase la '''temperatura de Debye''' <math>T_D</math> (un resumen de algunas de las constantes y variables dependientes del material):

:{{ecuación | <math>T_D\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {hc_sR\over2Lk} = {hc_s\over2Lk}\sqrt[3]{6N\over\pi} = {hc_s\over2k}\sqrt[3]{{6\over\pi}{N\over V}}</math> }}

LlegamosSe llega así a la energía interna específica:

:{{ecuación | <math>\frac{U}{Nk} = 9T \left({T\over T_D}\right)^3\int_0^{T_D/T} {x^3\over e^x-1}\, dx = 3T D_3 \left({T_D\over T}\right)\,,</math> }}

Derivando con respecto a <math>T</math> obtenemosse obtiene la capacidad calorífica adimensional:

:{{ecuación | <math> \frac{C_V}{Nk} = 9 \left({T\over T_D}\right)^3\int_0^{T_D/T} {x^4 e^x\over\left(e^x-1\right)^2}\, dx\,.</math> }}

Estas fórmulas tratan el modelo de Debye para todo el rango de temperaturas. Las fórmulas más elementales que se muestran más adelante se corresponden con el comportamiento asintótico en los límites de bajas y altas temperaturas. Como ya hemosse ha mencionado, este comportamiento es exacto, a diferencia del comportamiento intermedio. La razón esencial para la exactitud en los rangos de bajas y altas temperaturas, respectivamente, es que el modelo de Debye da (i) la '''[[relación de dispersión]]''' correcta <math>E(\nu )</math> para frecuencias bajas, y (ii) corresponde exactamente a la ''[[regla de suma]]'' <math>(\int g(\nu ) \, {\rm d\nu}\equiv 3N)\,,</math> sobre el número de vibraciones por intervalo de frecuencia.

:{{ecuación |<math> n \sim {1 \over 3} \nu^3 V F\,, </math> }}

:{{ecuación | <math>U = \int_0^\infty \,{h\nu^3 V F\over e^{h\nu/kT}-1}\, d\nu\,,</math> }}

:{{ecuación | <math> 3N = {1 \over 3} \nu_m^3 V F \,.</math> }}

:{{ecuación |<math>U = \int_0^{\nu_m} \,{h\nu^3 V F\over e^{h\nu/kT}-1}\, d\nu\,,</math>

::<math> = V F kT (kT/h)^3 \int_0^{T_D/T} \,{x^3 \over e^x-1}\, dx\,,</math> }}

:{{ecuación | <math> \frac{C_V}{Nk} \sim 9 \left({T\over T_D}\right)^3\int_0^{\infty} {x^4 e^x\over \left(e^x-1\right)^2}\, dx</math> }}

:{{ecuación | <math> \frac{C_V}{Nk} \sim {12\pi^4\over5} \left({T\over T_D}\right)^3</math> }}

:{{ecuación | <math> \frac{C_V}{Nk} \sim 9 \left({T\over T_D}\right)^3\int_0^{T_D/T} {x^4 \over x^2}\, dx </math> }}

:{{ecuación | <math>\frac{C_V}{Nk} \sim 3\,.</math> }}

Esta es la [[ley de Dulong-Petit]], y es bastante exacta a pesar de que no tiene en cuenta la anarmonicidad, que causa que la capacidad calorífica continúe aumentando. Para describir la capacidad calorífica del sólido, sial noshace referimosreferencia a un [[Conductor eléctrico|conductor]] o a un [[semiconductor]], deberíamosse debería tener en cuenta también la nada desdeñable contribución de los [[electrón|electrones]].

:{{ecuación | <math>C_V = 3Nk\left({\epsilon\over k T}\right)^2{e^{\epsilon/kT}\over \left(e^{\epsilon/kT}-1\right)^2}</math> }}

:{{ecuación | <math>{\epsilon\over k} \ne T_D\,,</math> }}

lo que significa que carece de sentido representarlas sobre el mismo conjunto de ejes coordenados. Ambos son modelos de lo mismo, pero sus escalas son distintas. Si definiésemosse definiese una '''temperatura de Einstein''' como

:{{ecuación | <math>T_E \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {\epsilon\over k}\,,</math> }}

entonces podríamosse podría decir:

:{{ecuación | <math>T_E \ne T_D\,,</math>}}

y, para relacionar ambas, deberíamosse debería buscar ella ratio:

:{{ecuación | <math>\frac{T_E}{ T_D} = ?</math> }}

:{{ecuación | <math>\nu = {c_s\over\lambda} = {c_s\sqrt[3]{N}\over 2L} = {c_s\over 2}\sqrt[3]{N\over V}</math> }}

lo que hace la '''temperatura de Einstein''':

:{{ecuación |<math>T_E = {\epsilon\over k} = {h\nu\over k} = {h c_s\over 2k}\sqrt[3]{N\over V}\,,</math> }}

:{{ecuación | <math>{T_E\over T_D} = \sqrt[3]{\pi\over6}\,.</math> }}

*[[gasGas en una caja]]

[[Categoría:TermodinámicaConceptos termodinámicos]]