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== Definición ==
=== Definición general ===
La definición moderna de compacidad requiere primero especificar la noción de [[cubrimientorecubrimiento abierto]]:
{{definición|1=Un '''cubrimientorecubrimiento abierto''' de un subconjunto ''A'' ⊆ ''X'' de un [[espacio topológico]], es una [[familia de conjuntos]] [[conjunto abierto|abiertos]] {''O<sub>i''</sub>}<sub>''i'' ∈ ''I''</sub> de ''X'', tales que su [[unión de conjuntos|unión]] "cubre" a ''A'' :
{{ecuación|1=<math>\bigcup_{i\in I}O_i\supseteq A</math>}}
}}
Dado un cubrimientorecubrimiento ''C'' de un conjunto ''A'', un '''subcubrimientosubrecubrimiento''' ''D'' es una subfamilia de ''C'', ''D'' ⊆ ''C'' que sigue siendo un cubrimientorecubrimiento de ''A'' —es decir, una subcolección de conjuntos de ''C'' que aún cubre a ''A''—.
La definición de compacidad es entonces:
{{definición|1=Un [[espacio topológico]] ''X'' se dice '''compacto''' si, dado un cubrimientorecubrimiento abierto de ''X'' cualquiera, existe un subcubrimientosubrecubrimiento [[finito]] del mismo.}}
'''Ejemplos.'''
*El conjunto ''K'' = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 0} ⊆ '''R''' con la topología heredada de la estándar de '''R''' es compacto. Dado un [[entorno (topología)|entorno]] de 0, este incluye a todos los 1/''n'' salvo un número finito —puesto que la sucesión {1/''n''}<sub>''n'' ∈ '''N'''</sub> [[convergencia (matemáticas)|converge]] a 0—. Por tanto, dado un cubrimientorecubrimiento abierto de ''K'', tomando un abierto ''O'' que contenga a 0, y un abierto que contenga cada punto 1/''n'' no contenido en ''O'', esta subcolección finita cubre a ''K''.
*El [[intervalo abierto]] (0, 1) ⊆ '''R''' no es compacto (con la topología usual heredada de '''R'''). La familia { (0, 1 − 1/''n'') }<sub>''n'' > 1</sub> es un cubrimientorecubrimiento abierto del intervalo, pero dada cualquier subfamilia finita, existe un intervalo (0, 1 − 1/''k'') en ella que contiene a los demás —buscando aquel con ''k'' mínimo—. Como 1 − 1/''p'' no está en (0, 1 − 1/''k'') si ''p'' > ''k'', ninguna subfamilia finita cubre (0, 1).
=== Caracterizaciones equivalentes ===
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