Diferencia entre revisiones de «Función elíptica de Jacobi»
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Línea 44:
: <math>\mbox{dn}\ u = 1 -k^2\frac{u^2}{2!}+ k^2(4+k^2)\frac{u^4}{4!} - k^2(16+44k^2+k^4)\frac{u^7}{7!}+ \dots</math>
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=== Doble periodicidad ===
Una propiedad interesante de las funciones elípticas de Jacobi es que son doblemente periódicas. Tienen un periodo real y otro período complejo:
{{ecuación|
: <math>\mbox{sn}\ u = \mbox{sn}(u+4K) = \mbox{sn}(u+2iK') </math>
: <math>\mbox{cn}\ u = \mbox{cn}(u+4K) = \mbox{cn}(u+2K+2iK')</math>
: <math>\mbox{dn}\ u = \mbox{dn}(u+2K) = \mbox{dn}(u+4iK')</math>
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Donde los valores que defien los perídos viene dados por:
{{ecuación|
: <math>K = \frac{\pi}{2}\prod_{n=1}^\infty (1-q^{2n})^2(1+q^{2n-1})^4 = \frac{\pi}{2}(1+2q+2q^4+\dots)^2</math>
: <math>K' = -\frac{\ln q}{2}\prod_{n=1}^\infty (1-q^{2n})^2(1+q^{2n-1})^4 = \frac{\pi}{2}(1+2q+2q^4+\dots)^2</math>
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donde ''q'' es el [[nomo (matemáticas)|nomo]] de las funciones <math>\theta_i(x,q)</math> que se relaciona con el módulo de las funciones elípticas mediante la relación:
{{ecuación|
:<math>k = 4q^{1/2}\prod_{n=1}^\infty \left( \frac{1+q^{2n}}{1+q^{2n-1}} \right)^4 </math>
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=== Ángulo doble ===
Algunas relaciones útiles para el "ángulo doble" son:
{{ecuación|
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