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Diferencia entre revisiones de «Regla del producto (cálculo)»

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Línea 5:
 
O usando la [[notación de Leibniz]]:
:<math> {d\over dx}(u\cdot v) = u{dv\over dx} + v{du\over dx} </math>.
 
 
Obviamente al resolverse como una suma de productos, el orden no importa, lo importante es que no se confunda f(x), g(x), f'(x) y g'(x).
 
== Demostración ==
 
Se puede derivardemostrar la regla usando las características del [[Límite de una función|límite]] y la definición de la derivada como el límite del [[cociente de la diferencia]].
 
Sea
Se comienza con:
:<math>f(x) = g(x)h(x) \,</math>
 
suponiendo quecon ''g'' y ''h'' soncontinuas y diferenciables en la variable ''x''. Entonces
:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(g(x + \Deltacdot xh)h(x + \Delta x) - (g(x \cdot h)h(x)}{\Delta x}</math>
:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[g(x)\left(\frac{(hg(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}\right) + h(x + \Delta x)\left(\frac{(g(x + \Delta x) - g(x)h(x)}{\Delta x}\right)\right]</math>▼
 
Como
:<math>g\left(x + \Delta x\right)h(x + \Delta x) - g(x)h(x) = g(x + \Delta x)(h(x + \Delta x) - hg(x)) + h(x) + \Delta g(x)(gh(x + \Delta x) - g(x)h(x + \Delta x),</math>
</math>
 
se tiene
:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x) + g(x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x + \Delta x)}{\Delta x}</math>
 
:<math> = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)(h(x + \Delta x) - h(x)) + h(x + \Delta x)(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}</math>
 
:<math> = \lim_{\Delta x \to 0} \left[g(x)\left(\frac{(h(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}\right) + h(x + \Delta x)\left(\frac{(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}\right)\right]</math>
 
Distribuyendo ahora el limite entre la suma y los productos (ver [[Límite de una función#Propiedades de los límites|''propiedades'']]), obtenemos que
 
:<math>f'(x) = \left[\lim_{\Delta x \to 0} g(x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(h(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}\right] + \left[\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}\right]</math>▼
 
Como ''h'' es continua en ''x'', se tiene
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:<math>\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(h(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}\right] = h'(x)</math> y <math>\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}\right] = g'(x)</math>
 
Por tanto,
Así, se justifica la descomposición de los productos dentro del límite, y reorganizando todo se tiene
 
▲:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[g(x)\left(\frac{(h(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}\right) + h(x + \Delta x)\left(\frac{(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}\right)\right]</math>
 
▲:<math>= \left[\lim_{\Delta x \to 0} g(x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(h(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}\right] + \left[\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}\right]</math>
 
:<math>f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x) \,</math>
 
lo cual termina la prueba.
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