Diferencia entre revisiones de «Número ordinal (teoría de conjuntos)»

== Introducción histórica ==
En su obra ''Fundamentos para una teoría general de conjuntos'', [[Georg Cantor]] introdujo la idea de los '''números transfinitos''' como una generalización de los [[números naturales]].<ref>Para esta introducción y las citas en ella, véase {{Harvsp|Cantor|2006}}.</ref> Observando la serie de los números naturales:
{{ecuación|<math>0,\,1,\,2,\,3,\, \ldots\, ,</math>}}
afirmaba que ésta descansa sobre «el principio de agregar una unidad a un número ya formado y disponible». A este principio, que Cantor denominó "primer principio de generación", se añadía la posibilidad de considerar un nuevo número, ''[[ω]]'', mayor que todos los números naturales (que por supuesto no es ninguno de ellos), y aplicar de nuevo el primer principio
{{ecuación|<math>0,\,1,\,2,\,3,\, \ldots\, ,\,\omega,\,\omega+1,\,\omega+2,\,\omega+3,\, \ldots\, ,</math>}}
Esta segunda sucesión de "números" ''ω'' + ''n'' se prestaba igualmente a considerar un número mayor que toda ella, ''ω'' + ''ω'' = ''ω''·2. En resumen, Cantor introducía el "segundo principio de generación", el cual
{{cita|[...] dada una determinada sucesión de verdaderos números enteros definidos, entre los cuales no hay ninguno que sea el mayor de ellos, [...] se crea un nuevo número al que se concibe como ''límite'' de aquellos números, esto es, se define como el número inmediatamente mayor que todos ellos.}}
Esta sucesión puede entonces continuarse indefinidamente:
{{ecuación|<math>0,\,1,\,2,\, \ldots\, ,\,\omega,\,\omega+1,\,\omega+2,\, \ldots\, ,\,\omega\cdot2,\,\omega\cdot2+1,\, \ldots\, ,\,\omega\cdot3,\,\dots\,,\,\omega\cdot n,\, \ldots\, ,\,\omega\cdot\omega=\omega^2,\, \ldots\, ,\,\omega^3,\, \ldots\, ,\,\omega^n,\, \ldots\, ,\,\omega^\omega,\, \ldots\, ,</math>}}
Usando esta serie de [[transfinitos|números transfinitos]], Cantor pudo estudiar losel conceptosconcepto de [['''número cardinalordinal'''. (teoríaUn de conjuntos)|número cardinal]]natural —quepuede esutilizarse elpara "númerorepresentar la posición dentro de elementos"una serie ordenada: 1.º, 2.º, 3.º,... Cantor descubrió que cualquier serie ordenada, finita o infinita, está «contenida» en la sucesión de unnúmeros conjuntotransfinitos (concretamente, cualquier serie [[conjuntobuen finitoorden|finitobien ordenada]]). oTambién dentro de esta serie se encuentran los [[conjuntonúmero infinitocardinal (teoría de conjuntos)|infinitonúmeros cardinales]], yque '''representan el «número ordinal'''.de elementos» de un conjunto infinito.
 
En efecto, un número natural puede representar no sólo una cantidad de elementos, sino una posición dentro de una serie ordenada: 1.º, 2.º, 3.º, ... Cantor descubrió que estos números transfinitos son en realidad números ordinales, que representan la posición de un elemento dentro de un conjunto [[buen orden|bien ordenado]]; y no sólo eso, sino que además clasifican ''todos los posibles'' conjuntos bien ordenados.
 
== Definición ==
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