Diferencia entre revisiones de «Número ordinal (teoría de conjuntos)»

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{{otros usos|este=números ordinales en teoría de conjuntos axiomática|Número ordinal|una introducción más básica}}
[[Archivo:Omega-exp-omega-labeled.svg|thumb|300px|'''Representación del ordinal ''ω''<sup>''ω''</sup>.''' Cada vuelta alrededor de esta [[espiral]] representa una [[potenciación|potencia]] entera de ''ω'': la primera contiene a los [[números naturales]] 0, 1, 2, ... La segunda llega hasta ''ω''<sup>2</sup> pasando por cada ordinal ''ω''·''m'' + ''n'', con ''m'', ''n'' naturales; la tercera llega hasta ''ω''<sup>3</sup> pasando por cada ordinal ''ω''<sup>2</sup>·''m'' + ''ω''·''n'' + ''p''; etc.]]
 
afirmaba que ésta descansa sobre «el principio de agregar una unidad a un número ya formado y disponible». A este principio, que Cantor denominó "primer principio de generación", se añadía la posibilidad de considerar un nuevo número, ''[[ω]]'', mayor que todos los números naturales (que por supuesto no es ninguno de ellos), y aplicar de nuevo el primer principio
{{ecuación|<math>0,\,1,\,2,\,3,\, \ldots ,\,\omega,\,\omega+1,\,\omega+2,\,\omega+3,\, \ldots ,</math>}}
Esta segunda sucesión de "«números"» ''ω'' + ''n'' se prestaba igualmente a considerar un número mayor que toda ella, ''ω'' + ''ω'' = ''ω''·2. En resumen, Cantor introducía el "segundo principio de generación", el cual
{{cita|[...] dada una determinada sucesión de verdaderos números enteros definidos, entre los cuales no hay ninguno que sea el mayor de ellos, [...] se crea un nuevo número al que se concibe como ''límite'' de aquellos números, esto es, se define como el número inmediatamente mayor que todos ellos.}}
Esta sucesión puede entonces continuarse indefinidamente:
Un [[conjunto bien ordenado]] es un conjunto con una [[teoría del orden|relación de orden]] entre sus elementos que verifica que dada cualquier subcolección no vacía de sus elementos, ésta posee un [[elemento mínimo]]. La importancia de los conjuntos bien ordenados reside en la [[inducción transfinita]], que afirma que en un conjunto ''A'' de estas características, las propiedades que un elemento hereda de sus predecesores son poseídas por la totalidad de los elementos de ''A''.
 
Un ordinal es un objeto matemático que clasifica todos los distintos conjuntos bien ordenados posibles. Por supuesto, ha de evitarse la posibilidad de clasificar con ordinales diferentes dos conjuntos bien ordenados distintos que en el fondo constituyan un "«reetiquetado"» el uno del otro.
 
 
</math>
}}
El único cambio es que al primer elemento se le llama "«0"» o "«5"», al segundo se le llama "«1"» o "«0"» , etc. Sin embargo, si comparamos los números naturales ordenados como sigue:
{{ecuación|
<math>
== Aritmética ordinal ==
{{AP|Aritmética ordinal}}
Pueden definirse unas operaciones de [[suma]], [[multiplicación]] y [[potenciación|exponenciación]] de ordinales de manera natural, mediante [[recursión transfinita]] o mediante definiciones "«geométricas"». Estas operaciones extienden la aritmética de los números naturales.
 
== Véase también ==
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