Diferencia entre revisiones de «Axioma de regularidad»

Una manera equivalente de enunciar el axioma de regularidad es afirmando que todos los conjuntos son [[conjunto regular|regulares]], es decir, que la relación de pertenencia ∈{{unicode|∈}} vista como un [[orden parcial]] tiene un [[elemento mínimo]] en todos los conjuntos. En particular, esto prohíbe la existencia de una sucesión infinita de conjuntos de la forma {{math|''x''₁ ∋{{unicode|∋}} ''x''₂ ∋{{unicode|∋}} ''x''₃ ∋{{unicode|∋}} ...}} De este modo, es sencillo entender que el axioma de regularidad prohíbe la existencia de conjuntos «patológicos» —no regulares— como por ejemplo:

*Un conjunto que sea su único elemento, {{math|1=''x'' = {''x''}|}}. Se tendría entonces que {{math|''x'' ∋{{unicode|∋}} ''x'' ∋{{unicode|∋}} ...}}

*Una pareja de conjuntos {{math|''y''}} y {{math|''z''}} tales que {{math|''y'' {{=}} {''z''}}}, {{math|''z'' {{=}} {''y''}|}}. Se cumpliría {{math|''y'' ∋{{unicode|∋}} ''z'' ∋{{unicode|∋}} ''y'' ∋{{unicode|∋}} ...}}

{{definición|1={{ecuación|1=<math>R_0=\varnothing\text{ , }R_{\alpha+1}=\mathcal P (R_\alpha)\text{ , }R_\lambda=\bigcup_{\alpha<\lambda}R_\alpha\text{ ,}

{{teorema|1=Todo conjunto regular está en algún {{math|''R''_{<span class="texhtml">α</span>''}}}.}}

Por esto, el axioma de regularidad se denota usualmente como «{{math|1=''V'' = ''R''}}», es decir, la [[clase universal]] (de la totalidad de conjuntos) y la clase {{math|''R''}} de los conjuntos regulares (la [[unión de conjuntos|unión]] de todos los {{math|''R''_{<span class="texhtml">α</span>}}}) son idénticas. Puede clasificarse entonces cada conjunto regular en algún {{math|''R''_&alpha;α''}}:

{{definición|1=El '''rango''' de un conjunto regular {{math|''x''}} es el mínimo ordinal {{math|''<span class="texhtml">α</span>''}} tal que {{math|''x'' &isin;{{unicode|∈}} ''R''_{<span class="texhtml">α</span>''+1}}}.}}

El axioma de regularidad ({{math|1=''V'' = ''R''}}) es totalmente independiente del resto de axiomas de [[axiomas de Zermelo-Fraenkel|ZF]] y [[teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel|NBG]]. La clase {{math|''R''}} de los conjuntos regulares es un [[teoría de modelos|modelo]] del resto de axiomas de ZF, luego de estos no puede probarse la existencia de un conjunto no regular, y asumir {{math|1=''V'' = ''R''}} es consistente. De modo similar, puede construirse un modelo del resto de ZF en el que aparezcan conjuntos del tipo {{math|1=''x'' = {''x''}|}}, luego es imposible probar la regularidad de todos los conjuntos, y asumir {{math|''V'' &ne; ''R''}} también es consistente.