Diferencia entre revisiones de «Conjunto generador de un grupo»

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Si el conjunto ''S'' es finito, un grupo ''G'' = <''S''> se dice '''finitamente generado'''. La estructura de los [[grupo abeliano|grupos abelianos]] finitamente generados es particularmente fácil de describir. Muchos de los teoremas que son ciertos para grupos finitamente generados fallan en general para los otros grupos.
 
Todo grupo finito es finitamente generado, pues ''G'' = <''G''>. Por el contrario, el grupo '''Z''' de [[número entero|enteros]] bajo la adición es un ejemplo de un grupo infinito que es finitamente generado, bien sea por <1>, bien sea por <−1> (con lo cual es también cíclico). El grupo '''Q''' de [[número racional|números racionales]] bajo la adición tiene la misma [[Número cardinal|cardinalidad]] de '''Z''', pero no puede ser finitamente generado. Ningún grupo incontable (esto es, de cardinalidad estrictamente mayor que la de '''Z''') puede ser finitamente generado.
 
Un mismo grupo puede tener varios conjuntos generadores diferentes. Por ejemplo, si ''p'' y ''q'' son enteros [[primos entre sí]], entonces <{''p'', ''q''}> genera también a '''Z'''.
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