Diferencia entre revisiones de «Base (álgebra)»
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* Todos los elementos de B pertenecen al espacio vectorial V.
* Los elementos de B forman un sistema
* Todo elemento de V se puede escribir como [[combinación lineal]] de los elementos de la base B (es decir, B es un [[sistema generador]] de V).<ref group="Nota">En el caso de Bases de Hilbert se entiende por "combinación lineal" una suma infinita convergente</ref>
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=== Bases de Hamel y de Hilbert ===
En un espacio vectorial de Hilbert de dimensión infinita existen varias posibilidades de extender el concepto de [[combinación lineal]] finita. De un lado si consideramos únicamente [[combinación lineal|combinaciones lineales]] finitas llegamos al concepto de [[base de Hamel]] o base lineal. Puede probarse que todas las bases de Hamel tienen el mismo número de elementos, este número o [[Número cardinal|cardinal]] se llama dimensión lineal o '''dimensión de Hamel'''. Un conjunto constituye una base de Hamel [[si y solo si]]:<
<br />
:<math>B_{\rm Ham}:\mbox{base de Hamel} \Rightarrow </math>
:<math>\exists \lambda_i \in \mathbb{K} \quad \and \quad \exists x_i \in B_{\rm Ham}: \quad x = \sum_{i=1}^N \lambda_i x_i</math>
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En un espacio de dimensión de Hamel finita, se puede encontrar solamente un número finito de [[ortogonal|vectores ortogonales]] dos a dos, en cambio, cuando la dimensión de Hamel es infinita, pueden introducirse en los [[espacio de Hilbert|espacios de Hilbert]] ciertas "combinaciones lineales infinitas" en términos de vectores ortogonales. En un espacio de Hilbert de dimensión infinita se dice que un conjunto es una '''base de Hilbert''' o base ortogonal, si y solo si:
<br />
:<math>B_{\rm Hil}:\mbox{base de Hilbert} \Rightarrow</math>
:<math>\exists \lambda_i \in \mathbb{K} \quad \and \quad \exists x_i \in B_{Hil} \quad \and \quad \langle x_i,x_j \rangle = 0 (i \ne j): \quad x = \sum_{i=1}^\infty \lambda_i x_i</math>
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Nuevamente sucede que todas las bases ortogonales tienen el mismo cardinal, por lo que se define el concepto de '''dimensión de Hilbert''' como el cardinal de cualquier base de Hilbert.
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