Diferencia entre revisiones de «Mecánica lagrangiana»
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tal fuerza es independiente de las terceras derivadas de '''r''' (o de derivadas de orden superior), por tanto la [[leyes de Newton|segunda ley de Newton]] forma un sistema de 3 ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Por lo tanto, el movimiento de la partícula se puede describir totalmente por 6 variables independientes, o ''grados de libertad''. Un sistema obvio de variables es {r<sub>j</sub>, r′<sub>j</sub>|j = 1, 2, 3}, las componentes cartesianas de '''r''' y sus derivadas temporales, en un instante dado del tiempo.
Más generalmente, podemos trabajar con un sistema de '''[[coordenadas generalizadas]]''' y de sus derivadas temporales, las '''velocidades generalizadas''': {''q''<sub>j</sub>, ''q''′<sub>j</sub>}.
{{Ecuación|<math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(q_1 , q_2 , q_3, t)</math>||left}}
Considere un desplazamiento arbitrario δ'''r''' de la partícula. El [[trabajo (física)|trabajo]] hecho por la fuerza aplicada ''F'' es δ''W'' = '''F''' · δ'''r'''. que usa la segunda ley de Newton, escribimos:
Línea 54:
</math>
Insertando esto en la ecuación precedente y substituyendo ''L'' = ''T'' - ''V'', obtenemos las ecuaciones de Lagrange:
:<math>
Línea 60:
</math>
Hay una ecuación de Lagrange para cada coordenada generalizada q<sub>i</sub>. Cuando q<sub>i</sub> = r<sub>i</sub> (es decir las [[coordenadas generalizadas]] son simplemente las [[coordenadas cartesianas]]), es inmediato comprobar que las ecuaciones de Lagrange se reducen a la segunda ley del Newton.
La derivación antedicha se puede generalizar a un sistema de ''N'' partículas. Habrá 6''N'' coordenadas generalizadas, relacionadas a las coordenadas de posición por 3''N'' ecuaciones de transformación. En cada una de las 3''N'' ecuaciones de Lagrange, ''T'' es la energía cinética total del sistema, y ''V'' la energía potencial total.
En la práctica, es a menudo más fácil solucionar un problema usando las [[ecuaciones de Euler-Lagrange]] que las leyes de Newton. Esto es porque las coordenadas generalizadas apropiadas ''q''<sub>i</sub> se pueden elegir para aprovechar las simetrías en el sistema.
Línea 85:
La formulación más moderna de la mecánica lagrangiana se realiza con toda generalidad sobre una [[variedad diferenciable]] llamada [[espacio fásico]] Γ que se construye como el [[fibrado tangente]] del llamado [[espacio de configuración]].
Sobre el espacio fásico de dimensión 2''N'', , siendo ''N'' el número de grados de libertad, se define una [[lagrangiano|función lagrangiana]], que puede expresarse en términos de una carta local de coordenadas sobre ℝ<sup>2''N''</sup>:<
<
:<math>\mathcal{L}:\Gamma \to \mathbb{R} \qquad \mathcal{L}(p;\mathbf{v}) = L(q_1,...,q_N; \dot{q}_1, ..., \dot{q}_N) \,</math>
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