Diferencia entre revisiones de «Teoría de placas y láminas»

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# La tensión perpendicular al plano medio se anula: σ''<sub>zz</sub>''= 0.
 
Como consecuencia los desplazamientos horizontales sólo se dan fuera del plano medio y sólo se producen por giro del segmento perpendicular al plano medio. Como consecuencia de las hipótesis de Reissner-Mindlin los desplazamientos pueden escribirse como:</br />
</br />
:<math> \begin{cases}
u_x(x,y,z) = -z\theta_x(x,y) \\
u_z(x,y,z) = w(x,y)
\end{cases} </math>
</br />
 
=== Hipótesis de Love-Kirchhoff ===
:5. <math>\theta_x(x,y) = \frac{\partial w}{\partial x} \qquad
\theta_y(x,y) = \frac{\partial w}{\partial y} </math>
</br />
Esta hipótesis es análoga a la hipótesis de Navier-Bernoulli para vigas. De hecho existe un paralelo entre los modelos de vigas y de placas. El modelo de placa de Reissner-Mindlin es el el equivalente de la viga de [[Stephen Timoshenko|Timoshenko]], mientras que el modelo de placa de Love-Kirchhoff es el equivalente de la viga de Euler-Bernoulli.
 
Las hipótesis de Reissner-Mindlin combinada con la hipótesis de Love-Kirchhoff proporcionan una hipótesis cinemática para los desplazamientos. A partir de esos desplazamientos pueden calcularse fácilmente las [[tensor deformación|deformaciones]] para una placa delgada:</br />
</br />
:<math>
\varepsilon_{xx} = \frac{\partial u_x}{\partial x} = -z\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} \qquad
\varepsilon_{xy} = \frac{1}{2}\left ( \frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x} \right ) = -z\frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y}
</math>
</br />
En función de esas deformaciones las tensiones se calculan trivialmente a partir de las [[Ley de elasticidad de Hooke|ecuaciones de Lamé-Hooke]] que generalizan la ley de Hooke para sólidos deformables.
 
<math>\Delta = \frac {\partial^2}{\partial x^2} +
\frac {\partial^2}{\partial y^2}, \qquad \qquad \Rightarrow \Delta\Delta w =
\frac {\part^4 w}{\part x^4} + \frac {\part^4 w}{\part x^2y^2} + \frac {\part^4 w}{\part y^4} </math></br />
||left}}
Y finalmente la constante ''D'' es la [[rigidez|rigidez flexional de placas]] y viene dada en función del espesor de la placa (''h''), el módulo de Young (''E''), el coeficiente de Poisson (ν):
:<math>m_{uv}, m_{vu}\,</math> son los momentos torsores de la placa.
 
=== Cúpula bajo su peso propio ===
Como ejemplo de las anteriores ecuaciones podemos considerar una cúpula en forma de [[casquete esférico]] sometida a su propio peso. Cada punto de la cúpula bidimensional se puede parametrizar mediante las coordenadas <math>(u,v)\ [= (\theta, \phi)]\,</math>:
{{ecuación|