Diferencia entre revisiones de «Gas de Fermi»

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(Desambiguación.)
{{AP|Estadística de Fermi-Dirac}}
Un gas de Fermi compuesto por partículas idénticas sigue la [[estadística de Fermi-Dirac]], de la cual se deduce que:
:(1) {{Ecuación|<math>\overline{n_k} = \frac{1}{e^{(\epsilon_k - \mu)/kT} + 1}</math>|1}}
 
que representan los valores medios de los [[números de ocupación]] para un gas de Fermi. Para un gas de Fermi todos los números de ocupación son <math>\overline{n_k} \le 1</math>. La normalización impone:
:{{Ecuación|<math>N = \sum_k \frac{1}{e^{(\epsilon_k - \mu)/kT} + 1}</math>}}
 
donde N es el número total de partículas del gas. A partir de aquí podemosse puede determinar el potencial termodinámico.
 
El [[Operador hamiltoniano|hamiltoniano]] de un gas de Fermi constituido por N fermiones de masa m encerrados en el interior de una caja cúbica de lado L es:
:(2) {{Ecuación|<math>H_0 = \sum_{i=1}^{N} \frac{p_i^2}{2m} </math>|2}}
 
donde la energía de cada partícula individual es:
:(3) {{Ecuación|<math>\epsilon = \frac{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}{2m} </math>|3}}
 
expresada en términos de autovalores (es decir los valores de energía accesibles al sistema): <math>\epsilon_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}</math>. Teniendo en cuenta la [[degeneración de espín]] <math>g = 2s + 1</math> donde ''s'' es el espín del fermión, el número de partículas en el elemento de volumen del [[espacio de fases]] es:
:(4) {{Ecuación|<math>g d\tau = g\frac{dp_x dp_y dp_z dV}{(2 \pi \hbar)^3}</math> |4}}
 
y por tanto se tiene para la distribución de Fermi:
:(5) {{Ecuación|<math>dN = \frac{g d\tau}{e^{(\epsilon - \mu)/kT} + 1}</math>|5}}
 
Más precisamente integrando la ecuación anterior (5) en <math>dV</math> obtenemosse obtiene la distribución del impulso:
:(6) {{Ecuación|<math>dN_p = \frac{g V p^2 dp}{2 \pi^2 \hbar^3 \left[e^{(\epsilon - \mu)/kT} + 1 \right]}</math>|6}}
 
y como <math>\epsilon = p^2 / 2 m</math>, deducimosse deduce fácilmente la distribución de energía:
:(7) {{Ecuación|<math>dN_{\epsilon} = \frac{g V m^{3/2}}{\sqrt{2} \pi^2 \hbar^3} \frac{\sqrt{\epsilon} \, d\epsilon}{e^{(\epsilon - \mu)/kT} + 1}</math>|7}}
 
Las expresiones (6) y (7) son las [[Distribución de Maxwell-Boltzmann|distribuciones de Maxwell]] en el caso de un gas de Fermi. El número total de partículas se obtiene integrando la expresión (7):
:(8) {{Ecuación|<math>N = \frac{g V m^{3/2}}{\sqrt{2} \pi^2 \hbar^3} \int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{\epsilon} \, d\epsilon}{e^{(\epsilon - \mu)/kT} + 1}</math>|8}}
 
mientras que a partir de la (6) se obtiene la energía:
:(9) {{Ecuación|<math>\int_{0}^{\infty} \epsilon \, dN_{\epsilon} = \frac{g V m^{3/2}}{\sqrt{2} \pi^2 \hbar^3} \int_{0}^{\infty} \frac{\epsilon^{3/2} \, d\epsilon}{e^{(\epsilon - \mu)/kT} + 1}</math>|9}}
 
PodemosSe puede obtener el ''potencial termodinámico'' a partir de la (7):
:(10) {{Ecuación|<math>\Omega = - \frac{V g T \sqrt{(m)^3}}{\sqrt{2} \pi^2 \hbar^3} \int_{0}^{\infty} \frac{\epsilon^{3/2} \, d\epsilon}{e^{(\epsilon -\mu) /kT} + 1}</math>|10}}
 
que coincide con la energía excepto en un factor:
:(11) {{Ecuación| <math>\Omega = - PV = \frac{2}{3} E</math>|11}}
 
que es una relación del todo general que vale para todos los sistemas o distribuciones, sean de Bose, de Fermi o de Boltzmann.
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