Diferencia entre revisiones de «Grupo resoluble»

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== Definición ==
 
Un grupo finito ''G'' se dice '''resoluble''' (o '''soluble''') si existe una cadena finita de [[Subgrupo|subgrupos]] <math>\{G_i\}_{i=1}^{n}\subset G</math> tal que:h>.
 
:<math> \{1_G\}=G_0\subseteq G_1 \subseteq \dots \subseteq G_n = G,</math>
 
donde para cada <math>i=0,1,\dots,n-1</math> se cumple que:
 
*: <math> G_i </math> es [[subgrupo normal]] en <math>G_{i+1}</math>, notado usualmente como <math>G_i \triangleleft G_{i+1}</math>.
 
*: El [[grupo cociente]] <math> G_{i+1}/G_i </math> es abeliano.
 
A la anterior cadena, cuando exista, se le suele denominar ''torre '', según Serge Lang.
 
Otra forma de definir la solubilidad de un grupo es a partir de los [[subgrupo conmutador|subgrupos conmutadores]]. Definimos <math> G^{(0)}=G </math> y <math> G^{(i+1)}=[G_i,G_i] </math>. Tendremos entonces una sucesión decreciente de subgrupos, a la que llamamos serie derivada:
 
:<math> G=G^{(0)}\supseteq G^{(1)} \supseteq G^{(2)} \dots, </math> donde <math> G^{(i+1)}\vartriangleleft G^{(i)} </math> para todo i.
 
El grupo es soluble si existe <math> n\in\mathbb N </math> tal que <math> G^{(n)}=\{1_G\} </math>.
 
Las dos definiciones son equivalentes porque dados un grupo <math> J </math> y un subgrupo normal <math> N\vartriangleleft J </math>, se tiene que <math> J/N</math> es [[grupo abeliano|abeliano]] si y solo si <math> [J,J]\subseteq N</math>.
 
== Ejemplos ==
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