Diferencia entre revisiones de «Espacio pseudométrico»

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En [[Matemáticas]], y más específicamente en [[Topología]] y [[Análisis funcional]], '''espacio pseudométrico''' es unaun generalizaciónconcepto delque conceptogeneraliza el de [[espacio métrico]], ensustituyendo el concepto de distancia por el de '''pseudodistancia''' o '''pseudométrica''', de tal forma que la pseudodistancia entre dos puntos distintos puede ser cero.<ref>Dmitri{{cita libro|apellidos=Burago, Yu D Burago, Sergei Ivanov, |nombre=Dimitri|título=A Course in Metric Geometry, |año=2001|editorial=American Mathematical Society, 2001, ISBN |isbn=0-8218-2129-6.|apellidos2=Burago|nombre2=Yu D|apellidos3=Ivanof|nombre3=Sergei|idioma=inglés}}</ref>
 
UnUna espaciopseudodistancia cuyao, topologíamás está generada porgeneralmente, una familia de pseudodistancias sedetermina denominaen un conjunto una [[espacio deuniforme|estructura calibraciónuniforme]]. El [[espacio topológico]] resultante se denomina '''espacio de calibración''' o '''espacio gauge'''.
 
Reciprocamente, toda estructura uniforme puede ser inducida por una familia de pseudodistancias. En particular, una sola pseudodistancia es suficiente para determinar la estructura si y solo si existe un sistema fundamental de ''entourages'' numerable.
==Definición==
 
Un espacio pseudométrico <math>(X,d)</math> es un [[par ordenado|par]] formado por un conjunto <math>X</math> y una función <math>d\colon X \times X \longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}</math> (denominada '''pseudométrica''' o '''semidistancia'''), con valores reales no negativos, tal que para todo <math>x,y,z \in X</math>,
==Definición y propiedades==
Un espacio pseudométrico <math>(X,d)</math> es un [[par ordenado|par]] formado por un conjunto <math>X</math> y una función <math>d\colon X \times X \longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}</math> (denominada '''pseudométricasemidistancia''' o '''semidistanciapseudométrica'''), con valores reales no negativos, tal que para todo <math>x,y,z \in X</math>,
 
#<math>d(x,x) = 0</math>.
#<math>d(x,y) = d(y,x)</math> (''simetría'')
#<math>d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)</math> (''[[subaditividad]]''/''[[desigualdad triangular]]'')
 
De estas condiciones se deduce que la pseudodistancia no puede tomar valores negativos, ya que <math>d(x,y)=\tfrac{1}{2} (d(x,y)+d(y,x)) \geq \tfrac{1}{2} d(x,x)=0</math>.
 
Todo espacio pseudométrico es un [[espacio métrico]]. Sin embargo, en general, no se requiere que los puntos sean distinguibles; es decir, puede darse <math>d(x,y)=0</math> para diferentes valores <math>x\ne y</math>.
 
Utilizando pseudodistancias en lugar de distancias se pueden trasladar facilmente a los espacios pseudométricos algunos conceptos definidos originalmente para espacios métricos, como el de [[acotado|acotación]] de conjuntos y funciones o el de [[continuidad uniforme]].
 
La suma de una familia finita de pseudodistancias <math>d_i;\; 1\leq i\leq n</math> en un conjunto <math>X</math> es otra pseudodistancia <math>d(x,y)=d_1(x,y)+d_2(x,y)+\dotsb+d_n(x,y)</math>.
 
A partir de una familia numerable de pseudodistancias <math>d_i;\; i\in\mathbb{N}</math> definidas en el mismo conjunto <math>X</math> puede definirse una distancia por medio de
::<math>d(x,y)=\sum\limits_{i=0}^{\infty} 2^{-i} \frac{d_i(x,y)}{1+d_i(x,y)}</math>
 
==Ejemplos==
* Todo espacio métrico <math>(M, d)</math> es válido como ejemplo de espacios pseudométricos.
 
* La pseudodistancia nula <math>d(x, y)=0</math> definida en cualquier conjunto <math>X</math> determina la [[topología trivial]].
 
* Sea <math>\mathcal{F}(X)</math> el espacio de funciones <math>f\colon X\to\mathbb{R}</math> definidas en un conjunto <math>X</math> con valores reales, en el que se ha elegido un punto <math>x_0\in X</math>. Este punto induce una pseudodistancia en <math>\mathcal{F}(X)</math> definida por
:::<math>d(f,g) = |f(x_0)-g(x_0)|</math> para todo <math>f,g\in \mathcal{F}(X)</math>
 
==Topología==
La '''topología pseudometricapseudométrica''' es la [[espacio topológico|topología]] inducida por las [[bola (matemática)|bolas abiertas]]
 
:::<math>B_r(p)=\{ x\in X\mid d(p,x)<r \},</math>
 
que forman una [[base (topología)|base]] para la topología.<ref>{{planetmath reference|id=6284|title=Pseudometric topology|idioma=inglés }}</ref>
 
topology}}</ref> Se dice que un espacio topológico es '''pseudometrizable''' si puede dotarse de una pseudodistancia tal que la topología pseudométrica coincide con la dada.
 
La diferencediferencia entre pseudodistancias y distancias es esencialmente topológica. Una pseudodistancia es una distancia si y solo si la topología que genera es [[Espacio de Kolmogórov|de Kolmogorov]] (es decir, puntos diferentes son topologicamentetopológicamente distinguibles).
 
== Pseudodistancias y estructuras uniformes ==
=== Definición de una estructura uniforme a partir de una pseudodistancia ===
 
Sea <math>X</math> un conjunto dotado de una pseudodistancia <math>d</math>. El conjunto <math>F</math> de imágenes inversas por d de intervalos de la forma [0,a), es un [[espacio uniforme|sistema fundamental de entourages]] para una estructura uniforme sobre <math>X</math>
 
:<math>F:=\{d^{-1}([0,a))\mid a\in \Bbb R_+ \} </math>, siendo
:<math> d^{-1}([0,a))=\{(x,y)\in X\times X\mid d(x,y)<a \}</math>
 
Se dice que dicha estructura está definida o determinada por la pseudodistancia <math>d</math>.
 
Igualmente, una familia <math>(d_i)_{i\in I}</math> de pseudodistancias en un conjunto <math>X</math>, determina una estructura uniforme que es el supremo de las estructuras definidas por cada una de ellas. Es decir, la intersección de todas las estructuras uniformes definidas en dicho conjunto <math>X</math> que contengan todas las estructuras individuales.
 
=== Definición de una pseudodistancia a partir de una estructura uniforme ===
 
Sea <math>X</math> un espacio uniforme en el que se puede identificar un sistema fundamental de ''entourages'' <math> (N_k)_{k\in\Bbb N}</math> numerable. Se puede demostrar la existencia de otro sistema fundamental de ''entourages'' simétricos <math> (S_k)_{k\in\Bbb N} </math> cumpliendo <math>S_0\subseteq N_0</math> y <math>S_{k+1}^3 \subseteq S_k\cap N_k</math>, donde <math>S^3=</math>S∘S∘S representa un encadenamiento de ''entourages''.
 
Para construir una pseudodistancia, partimos de la función <math>g\colon X \times X \longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}</math>, definida por
 
:<math> g(x,y):= \begin{cases} 1\; \mbox{si}\; (x,y)\not\in S_0\\
\inf \{2^{-k-1}|(x,y)\in S_k\}\;\rm{en caso contrario}
\end{cases} </math>
 
Esta función es simétrica y se anula en la diagonal, pero no cumple necesariamente la desigualdad triangular. Para obtener el resultado deseado se utiliza el siguiente procedimiento.
 
Sea C el conjunto de todas las secuencias finitas de puntos de <math>X</math> que comienzan en <math>x</math> y terminan en <math>y</math>. Entonces podemos definir una pseudodistancia en <math>X</math> mediante
 
:<math> d(x,y):=\inf \left\{ \sum_{j=0}^{n-1} g(z_j, z_{j+1})\mid (z_j)_{j=0,\dotsc,n}\in C \right\}</math>.
 
La estructura uniforme determinada por esta pseudodistancia es la estructura uniforme original.
 
Este resultado puede generalizarse. Dada cualquier estructura uniforme en un conjunto <math>X</math>, es posible identificar una familia de pseudométricas que, a su vez, determine la estructura uniforme de partida.<ref>{{cita libro|apellidos=Bourbaki|nombre=Nicolas|título=Éléments de mathématique. Topologie générale|año=1974|editorial=Hermann|isbn=978-3-540-34399-8|idioma=francés|capítulo=IX}}</ref>
 
==Identificación métrica==
Entonces <math>d^*</math> es una métrica en <math>X^*</math> y <math>(X^*,d^*)</math> un espacio métrico bien definido.<ref>
 
{{cita libro|apellidos=Howes|nombre=Norman R.|título=Modern Analysis and Topology|año=1995|editorial=Springer|ubicación=New York, NY|isbn=0-387-97986-7|url=http://www.springer.com/mathematics/analysis/book/978-0-387-97986-1|fechaacceso=10 de septiembre de 2012|página=27|idioma=ingles}}</ref>
 
NY|isbn=0-387-97986-7|url=http://www.springer.com/mathematics/analysis/book/978-0-387-97986-1|fechaacceso=10 de septiembre de 2012|página=27}}</ref>
 
La identificación métrica preserva las topologías inducidas. Es decir, un subconjunto <math>A\subset X</math> es abierto (o cerrado) en <math>(X,d)</math> si y solo si <math>\pi(A)=[A]</math> es abierto (o cerrado) en <math>(X^*,d^*)</math>, siendo <math>\pi\colon X\to X^*</math> la proyección canónica que hace corresponder a cada punto de <math>X</math> la clase de equivalencia que lo contiene.
 
==Referencias==
* {{cita libro|apellidos=von Querenburg|nombre=Boto|título=Mengentheoretische Topologie|año=2001|editorial=Springer-Verlag|isbn=3-540-67790-9|ubicación=Berlin |idioma=alemán }}</ref>
* {{cita libro | título=General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory | apellidos=Arkhangel'skii |
 
* {{cita libro | título=General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory | apellidos=Arkhangel'skii | nombre=A.V. |author2=Pontryagin, L.S. | año=1990 | isbn=3-540-18178-4|idioma=inglés | editorial=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | series=Encyclopaedia of Mathematical Sciences}}
 
* {{cita libro | título=Counterexamples in Topology | apellidos=Steen | nombre=Lynn Arthur |author2=Seebach, Arthur | año=1995 |idioma=inglés | origyear=1970 | isbn=0-486-68735-X | editorial=[[Dover Publications]] | edición=new edition }}
Springer]] | series=Encyclopaedia of Mathematical Sciences}}
* {{cita libro | título=Counterexamples in Topology | apellidos=Steen | nombre=Lynn Arthur |author2=Seebach, Arthur | año=1995
 
| origyear=1970 | isbn=0-486-68735-X | editorial=[[Dover Publications]] | edición=new edition }}
* {{planetmath reference|id=6275|title=Example of pseudometric space}}
 
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ediciones