Diferencia entre revisiones de «Ángulos entre paralelas»

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En [[geometría euclidiana]] plana, los '''ángulos entre paralelas''' son los ocho ángulos formados por dos [[paralelismo (matemática)|rectas paralelas]] y una transversal a ellas. Se clasifican según su [[congruencia (geometría)|congruencia]].
 
== Ángulos correspondientes ==
[[ArchivoFile:Theorem 11.svgsvg‎|right|300px|thumb|Figura 1: Rectas paralelas ''m'' y ''n'', recta transversal ''t''.]]
 
Las parejas de ángulos: <1 y <5; <2 y <6; <4 y <8; <3 y <7 se llaman '''ángulos correspondientes''', y son congruentes (iguales) (figura 1).
 
Dos ángulos no adyacentes son correspondientes si y solo si están en el mismo semiplano respecto de la transversal,uno interior y otro exterior.
 
== Ángulos alternos ==
===Alternos externos ===
Distinguimos dos grupos (figura 1):
 
#'''Alternos externos''': las parejas de ángulos <1 y <7; <2 y <8, que son congruentes.
#'''AlternosLas internos''':parejas lasde parejasángulos: <41 y <67; <32 y <58 se llaman '''ángulos alternos externos''', tambiény son congruentes (figura 1).
 
=== Alternos internos ===
 
Las parejas de ángulos: <4 y <6; <3 y <5 se llaman '''ángulos alternos internos''', y son congruentes (figura 1).
 
== Ángulos congruentes entre paralelas ==
Los [[ángulos opuestos por el vértice]] son congruentes, de modo que, de los ocho ángulos formados entre las dos paralelas y la única transversal, hay únicamente dos distintos, que son [[Ángulos adyacentes|adyacentes]] (figura 2).
 
Los [[ángulos opuestos por el vértice]] son congruentes, de modo que, de los ocho ángulos formados entre las dos paralelas y la únicauna transversal, hay únicamente dos distintos, que son [[Ángulos adyacentes|adyacentes]] (figura 2).
[[Archivo:Parallel transversal.svg|center|400px|thumb|Figura 2: Rectas paralelas ''a'' y ''b'', transversal ''T'', ángulos adyacentes ''β'' y ''θ''.]]
 
[[ArchivoFile:Parallel transversalParallel_transversal.svg|center|400px|thumb|Figura 2: Rectas paralelas ''a'' y ''b'', transversaltranversal ''Tt'', ángulos adyacentes ''β'' y ''θ''.]]
 
== Teoremas y resultados relacionados ==
 
La noción de '''ángulos correspondientes''' es la base de numerosos ejemplos y teoremas fundamentales de la geometría,<ref>Ver: [[Regla y compás]].</ref> presente en los cursos de enseñanza media de las matemáticas.<sup>[Ver: '''[[Ángulos entre paralelas#Bibliografía|Bibliografía]]''']</sup> Es un resultado geométrico intuitivo conocido y manejado desde la antigüedad, de manera tanto práctica como teórica,<ref>Ver: [[Historia de la geometría]].</ref> si bien es la ciencia griega, y en particular [[Euclides]], en ''los [[Elementos de Euclides|Elementos]]'' (siglo III a.C.), quienes formalizan los conceptos y las nociones de un modo que ha permanecido casi sin variaciones hasta nuestros días.
 
[[Archivo:Thales theorem 6.png|350px|right|thumb|Según cuenta la [[Teorema de Tales#Leyenda|leyenda]], el filósofo [[Tales de Mileto]] utilizó esta propiedad para medir la altura de las pirámides de [[Necrópolis de Guiza|Guiza]], alrededor del año 500 a.C.]]
Archivo:Desargues on Parallels.svg|[[Teorema de Desargues]].
Archivo:Thales-sov.jpg|[[Teorema de Tales]].
Archivo:Triángulos semejantes Tales.png|[[semejanza (geometría)|Triángulos semejantes]].
ArchivoFile:Cong AAA.png|[[Triángulos semejantes]].
</gallery>
<div style="clear:both" />
 
=== Proposiciones de Euclides ===
 
La [[Quinto postulado de Euclides#¿Axioma o teorema?|controversia sobre el V postulado]] alcanza la definición de los '''ángulos entre paralelas''' desde el momento mismo de la elección de la noción de «''rectas paralelas''»: las que guardan siempre la misma distancia; las que no se encuentran; o bien las que forman ángulos congruentes al ser cortadas por una transversal.<ref>Manifiestamente, Euclides no utiliza el concepto en sus primeras 26 proposiciones.</ref>
 
De ''[[Elementos de Euclides|Los Elementos]]'' de [[Euclides]]:
 
{{teorema|título=Proposición 28|1=''Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace el ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado iguales a dos ángulos rectos, las rectas serán paralelas entre sí''.}}
[[Archivo:Parallel postulate en.svg|325px|thumb|Si los ''ángulos interiores'' α y β no son suplementarios, las rectas prolongadas se intersecan (véase: [[Quinto postulado de Euclides]]).]]
 
Los siguientes dos resultados (lógicamente equivalentes<ref>Heath, T.L., ''The thirteen books of Euclid's Elements'', Vol.1, Dover, 1956, pg.309.</ref>) son independientes del V postulado de Euclides. La '''Proposición 16''', por ejemplo, no se cumple en [[geometría elíptica]].
 
De ''Los Elementos'' de Euclides:
 
== Geometría no-euclidiana ==
 
En la [[geometría absoluta]] o la [[geometría esférica]] por ejemplo, el quinto postulado de Euclides no aplica, por lo que los '''ángulos entre paralelas''' tienen propiedades diferentes.
 
<div style="clear:both" />
 
ArchivoFile:Escher Circle Limit III.jpg
ArchivoFile:Hyperbolic triangle.svg
ArchivoFile:Hyperbolic tiling omnitruncated 3-7.png
[[Archivo:Triangle trirectangle.png|250px|thumb|[[Geometría elíptica]].]]
== Aplicaciones ==
== Véase también ==
Relaciones aritméticas entre ángulos:
* [[CongruenciaÁngulos (geometría)congruentes]]
* [[Ángulos complementarios]]
* [[Ángulos suplementarios]]
* [[Ángulos consecutivos]]
* [[Ángulos opuestos por el vértice]]
* [[Ángulos interiores]] y [[Ángulos exteriores|exteriores]]
* [[Ángulo interior]]
 
* [[Ángulo exterior]]
 
* [[Postulados de Euclides]]
* [[Paralelismo (matemática)|Paralelismo]]
* [[Perpendicularidad]]
* [[Geometría no euclidianaeuclídea]]
 
== Notas y referencias ==
== Enlaces externos ==
* {{cita web|título=Líneas paralelas y pares de ángulos|url=http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/lineas-paralelas.html|autor=Pierce, Rod}}
* [http://www.mathopenref.com/transversal.html ''Transversal and its properties''], sitio interactivo, {{en}}.
* ''[http://www.euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm Elementos]'' de Euclides.