Diferencia entre revisiones de «Recta real extendida»

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En [[matemática]], la '''recta real extendida''' o '''recta real acabada''', es un [[espacio métrico]] que se obtiene a partir de los [[números reales]] <math>{\mathbb{R}}</math> por la añadidura de dos elementos: <math>+ \infty</math> y <math>- \infty</math> (léase ''[[Infinito|infinito]] positivo'' e ''infinito negativo'', respectivamente). La '''recta real extendida ''proyectiva''''' añade un solo objeto: <math> \infty</math> ([[punto del infinito]]), y no hace distinción entre infinitos «positivo» o «negativo». Estos nuevos elementos no son números reales.
 
La recta real extendida se denota por <math>\overline{\mathbb{R}}</math> o bien <math>[+ \infty,- \infty]</math>; es utilizada para describir varios [[Límite de una función|comportamientos al límite]] en [[cálculo infinitesimal]] y [[análisis matemático]], especialmente en la [[teoría de la medida]] e [[integración]].
 
Cuando el significado se deduce del contexto, el símbolo <math>+ \infty</math> se escribe simplemente <math> \infty</math>.
 
== Definiciones ==
=== Límites ===
 
=== Límites ===
 
La necesidad de su [[definición (matemática)|definición]], surge al describir el comportamiento de una función ''f''(''x''), cuando o bien el argumento ''x'' o bien el valor de la función ''f(x)'' se vuelve «muy grande» en algún sentido.
 
Por ejemplo, la función <math>f(x) = x^{-2} \ </math>.
</math>
 
surge el valor "infinito". Finalmente, se suele considerar el límite de una sucesión de funciones, como
: <math>
f_n(x) =
La recta real extendida se vuelve un [[Orden total|conjunto totalmente ordenado]] definiendo −∞ ≤ ''a'' ≤ +∞ para todo ''a''. Este orden tiene la agradable propiedad de que todo subconjunto tiene un [[supremo]] y un [[ínfimo]]: conforma un [[retículo completo]].
 
Esto induce un [[orden topológico]] sobre '''{{Overline|R}}'''. En esta topología, un conjunto ''U'' es una [[Entorno (matemática)|vecindad]] de +∞ si y solo si contiene un conjunto {''x'' : ''x'' > ''a''} para algún número real ''a'', y análogamente para las vecindades de −∞. '''{{Overline|R}}''' es un [[espacio de Hausdorff]] [[Espacio compacto|compacto]] [[Homeomorfismo|homeomorfo]] al [[intervalo unidad]] [0, 1]. Luego esta topología es [[Espacio métrico#Espacios metrizables|metrizable]], corresponde (para un homeomorfismo dado) a la métrica usual en este intervalo. No hay una métrica que sea una extensión de la métrica usual sobre '''R'''.
 
Con esta topología, se pueden definir especialmente los [[Límite de una función|límites]] para ''x'' tendiendo a +∞ y −∞, y los conceptos especialmente definidos de límites igual a +∞ y −∞, se reducen a la definición topológica de límites.
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