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Añadidos ejemplos de cálculo para espacios de dimensión finita
(Añadidos ejemplos de cálculo para espacios de dimensión finita)
 
== Lema de Zorn y existencia de bases ==
Mediante el uso del [[lema de Zorn]], es posible probar que todo espacio vectorial posee una base. Pese a que es posible que un espacio vectorial no posea una única base, se cumple que todo par de bases de un mismo espacio vectorial tienen la misma [[cardinalidad]]. Por ser así, tal cardinalidad será llamada como la [[Dimensión de un espacio vectorial|dimensión]] del espacio vectorial.
 
Otras propiedades, consecuencias del [[lema de Zorn]]:
\mathcal{B}''=\{(1,1,1); (1,1,0); (1,0,0)\} \\ \mathcal{B}'''=\{(504,0,0); (0,7,0); (0,0,1/2)\} \end{cases} </math>||left}}
En general, toda base de <math>\mathbb{R}^3</math> estará formada por tres vectores linealmente independientes que pertenezcan a <math>\mathbb{R}^3</math>. Cuando el espacio vectorial en sí mismo es un conjunto finito entonces el número de bases distintas es finito.
# Si V es un espacio vectorial de [[Dimensión de un espacio vectorial|dimensión]] finita, entonces todas las bases de V serán finitas y tendrán la misma cantidad de elementos.
# No todas las bases tienen un número finito de elementos. Por ejemplo, las bases del espacio vectorial de los polinomios de una variable tienen infinitos elementos. Una posible base es la formada por las potencias de X: <math>\mathcal{B} =\{1, X, X^2, X^3,\dots \}</math>
 
== Espacio de dimensión finita ==
Como se especificó antes, se denomina espacio vectorial de dimensión finita a todo aquel generado por un conjunto finito de vectores. En este caso puede definirse la dimensión del espacio como el cardinal del conjuno de vectores que constituye la base. Por ejemplo, una [[recta]] homogénea en el plano, es decir que pasa por el origen determinado en este, tiene dimensión uno, por ser su base un único vector.
 
=== Ejemplos de cálculo ===
# Tomemos la recta en el plano cartesiano <math>r = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y = x\right\}</math>. Sea <math>(a,b) \in r</math> uno de sus puntos, evidentemente cumple que <math>b=a</math> y por lo tanto puede escribirse así <math>(a,b) = (a,a) = a(1,1)</math>. Tomando cualquier <math>a\in\mathbb R</math> se obtienen todos los puntos de la recta, así <math>r = \mathrm{gen}\{(1,1)\}</math>. La recta tiene como base al segmento orientado (1,&nbsp;1), que la «dirige» a 45° de los [[ejes cartesianos]].
# Ahora calculemos la base del [[Plano (geometría)|plano]] homogéneo <math>\alpha = \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x+y+z=0\right\}</math>. Despejamos una de las variables de la ecuación del plano en función de las otras dos, así: <math>z = -x-y</math>. Sea <math>(a,b,c)\in\alpha \Rightarrow (a,b,c)=(a,b,-a-b)=a(1,0,-1)+b(0,1,-1)</math> y por lo tanto, el conjunto <math>\left\{(1,0,-1),(0,1,-1)\right\}</math> es una base de este plano.
# El procedimiento anterior es válido para cualquier dimensión. Supongamos dado el siguiente subespacio <math>S=\left\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 : x_1 - x_2 = 0 \land x_1 - x_4 = 0 \land 5x_1 - 6x_3 - 5x_4 = 0\right\}</math>, en este caso se trata de varias ecuaciones, y todo punto perteneciente a él debe satisfacerlas simultáneamente. Así, se obtendrá la base reduciendo las ecuaciones a expresiones más simples. La solución del sistema es <math>(x_1, x_2, x_3, x_4) = (1, 1, 0, 1)t</math>, y por lo tanto, el conjunto que contiene al único vector (1,&nbsp;1,&nbsp;0,&nbsp;1) es la base de ''S''.
# Lo mismo se aplica a otro tipo de espacios, por ejemplo, polinomios de grado 3. Consideremos el subespacio <math>P = \{ax^3+bx^2+cx+d : a-b=0\land 3c+d=0\}</math>. Expresamos las ecuaciones así <br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\left\{\begin{array}{lcr}a&=&b \\ d&=&-3c\end{array}\right.</math><br />lo cual implica que todo polinomio de la forma <math>p(x) = a x^3 + a x^2 + cx - 3c = a (x^3 + x^2) + c (x-3) \in P</math>. Por lo tanto, <math>\{x^3 + x^2, x - 3\}</math> es una base del espacio ''P''.
 
== Espacios de dimensión infinita ==
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