Diferencia entre revisiones de «Combinación lineal»
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{{Referencias|t=20150127}}
La '''combinación lineal''' de un conjunto de [[Vector (matemática)|vectores]] es la suma de estos, multiplicados, cada uno, por un coeficiente [[Escalar (matemática)|escalar]]. Se trata de vectores de la forma
{{ecuación|
<math>
||left}}
con los <math>k_i</math> elementos de un [[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo]].
Así, <math>\ x</math> es '''combinación lineal''' de vectores de <math>\ A</math> si podemos expresar <math>\ x</math> como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de <math>\ A</math>.▼
== Definición ==
Dado un espacio vectorial ''V'' sobre un cuerpo <math>\mathbb{K}</math> y un conjunto <math>\ A = \{ v_1, v_2, v_3,..., v_n \}</math> de vectores en ''V'', es decir, <math>A\subset V</math>.
{{Definición|1=Se dice que un vector <math>v \in V</math> es '''combinación lineal''' de ''A'' si <math>\exists k_i \in \mathbb{K} : v = \sum_{i=1}^n k_i v_i</math>.}}
▲
== Ejemplos ==
: <math>\begin{pmatrix} 20 \\ 12 \\ 37 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix}.</math>▼
<ol>
<li>
▲ <p> El vector (20, 12, 37) es una combinación lineal de los vectores (1, 3, 5) y (6, 2, 9): {{Ecuación|1=<math>\begin{pmatrix} 20 \\ 12 \\ 37 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix}.</math>}} </p> </li>
<li>
<math>2x + 3y - 2z = 0</math> : Se dice que <math>z</math> es combinación lineal de <math>x</math> y de <math>y</math>, porque podemos escribir <math>z = x + \frac{3}{2} y</math> sin más que despejar la <math>z</math>. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.</li>▼
</ol>
== Espacio generado ==
{{AP|Sistema generador}}
▲<math>2x + 3y - 2z = 0</math> : Se dice que <math>z</math> es combinación lineal de <math>x</math> y de <math>y</math>, porque podemos escribir <math>z = x + \frac{3}{2} y</math> sin más que despejar la <math>z</math>. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.
Dado un conjunto de vectores <math>A\,</math>, finito o infinito, se llama '''expansión lineal''', denotada como <math>\mbox{span}(A)</math> al conjunto:{{cita requerida}}<!-- solo para contrastar(no pongo en duda el contenido) -->
{{ecuación|
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==Véase también==
* [[Sistema generador]]
* [[Independencia lineal]]
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