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(Añadidos ejemplos de cálculo para espacios de dimensión finita)
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=== Ejemplos de cálculo ===
[[File:Linearly independent vectors in R3.svg|thumb|128px|Tres segmentos orientados no colineales son una base del espacio tridimensional.]]
# Tomemos la recta en el plano cartesiano <math>r = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y = x\right\}</math>. Sea <math>(a,b) \in r</math> uno de sus puntos, evidentemente cumple que <math>b=a</math> y por lo tanto puede escribirse así <math>(a,b) = (a,a) = a(1,1)</math>. Tomando cualquier <math>a\in\mathbb R</math> se obtienen todos los puntos de la recta, así <math>r = \mathrm{gen}\{(1,1)\}</math>. La recta tiene como base al segmento orientado (1,&nbsp;1), que la «dirige» a 45° de los [[ejes cartesianos]].
<ol>
# Ahora calculemos la base del [[Plano (geometría)|plano]] homogéneo <math>\alpha = \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x+y+z=0\right\}</math>. Despejamos una de las variables de la ecuación del plano en función de las otras dos, así: <math>z = -x-y</math>. Sea <math>(a,b,c)\in\alpha \Rightarrow (a,b,c)=(a,b,-a-b)=a(1,0,-1)+b(0,1,-1)</math> y por lo tanto, el conjunto <math>\left\{(1,0,-1),(0,1,-1)\right\}</math> es una base de este plano.
 
# El procedimiento anterior es válido para cualquier dimensión. Supongamos dado el siguiente subespacio <math>S=\left\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 : x_1 - x_2 = 0 \land x_1 - x_4 = 0 \land 5x_1 - 6x_3 - 5x_4 = 0\right\}</math>, en este caso se trata de varias ecuaciones, y todo punto perteneciente a él debe satisfacerlas simultáneamente. Así, se obtendrá la base reduciendo las ecuaciones a expresiones más simples. La solución del sistema es <math>(x_1, x_2, x_3, x_4) = (1, 1, 0, 1)t</math>, y por lo tanto, el conjunto que contiene al único vector (1,&nbsp;1,&nbsp;0,&nbsp;1) es la base de ''S''.
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# Lo mismo se aplica a otro tipo de espacios, por ejemplo, polinomios de grado 3. Consideremos el subespacio <math>P = \{ax^3+bx^2+cx+d : a-b=0\land 3c+d=0\}</math>. Expresamos las ecuaciones así <br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\left\{\begin{array}{lcr}a&=&b \\ d&=&-3c\end{array}\right.</math><br />lo cual implica que todo polinomio de la forma <math>p(x) = a x^3 + a x^2 + cx - 3c = a (x^3 + x^2) + c (x-3) \in P</math>. Por lo tanto, <math>\{x^3 + x^2, x - 3\}</math> es una base del espacio ''P''.
Tomemos la recta <math>r = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y = x\right\}</math> en el plano cartesiano. Sea <math>(a,b)</math> uno de sus puntos, cumple <math>b=a</math> por pertenecer al conjunto ''r''. Por lo tanto, puede escribirse
# Tomemos la recta en el plano cartesiano <math>r = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y Ecuación|1= x\right\}</math>. Sea <math>(a,b) \in r</math> uno de sus puntos, evidentemente cumple que <math>b=a</math> y por lo tanto puede escribirse así <math>(a,b) = (a,a) = a(1,1)</math>.}} Tomando cualquier <math>a\in\mathbb R</math> se obtienen todos los puntos de la recta, así <math>r = \mathrm{gen}\{(1,1)\}</math>. La recta tiene como base al segmento orientado (1,&nbsp;1), que la «dirige» a 45° de los [[ejes cartesianos]].
</li>
 
# <li> Ahora calculemos la base del [[Plano (geometría)|plano]] homogéneo <math>\alpha = \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x+y+z=0\right\}</math>. Despejamos una de las variables de la ecuación del plano en función de las otras dos, así: <math>z = -x-y</math>. Sea <math>(a,b,c)\in\alpha \Rightarrow (a,b,c)=(a,b,-a-b)=a(1,0,-1)+b(0,1,-1)</math> y por lo tanto, el conjunto <math>\left\{(1,0,-1),(0,1,-1)\right\}</math> es una base de este plano.
{{Ecuación|1=<math>z = -x-y</math>.}} Sea <math>(a,b,c)\in\alpha \Rightarrow (a,b,c)=(a,b,-a-b)=a(1,0,-1)+b(0,1,-1)</math> y por lo tanto, el conjunto <math>\left\{(1,0,-1),(0,1,-1)\right\}</math> es una base de este plano.
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<li> El procedimiento anterior es válido para cualquier dimensión. Supongamos dado el subespacio
# El procedimiento anterior es válido para cualquier dimensión. Supongamos dado el siguiente subespacio {{Ecuación|1=<math>\scriptstyle S=\left\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 \ : \ x_1 - x_2 = 0 \ \land \ x_1 - x_4 = 0 \ \land \ 5x_1 - 6x_3 - 5x_4 = 0\right\}</math>,}} en este caso se trata de varias ecuaciones, y todo punto perteneciente a él debe satisfacerlas simultáneamente. Así, se obtendrá la base reduciendo las ecuaciones a expresiones más simples. La solución del sistema es <math>(x_1, x_2, x_3, x_4) = (1, 1, 0, 1)t</math>, y por lo tanto, el conjunto que contiene al único vector (1,&nbsp;1,&nbsp;0,&nbsp;1) es la base de ''S''.
</li>
 
<li> Lo mismo se aplica a otro tipo de espacios, por ejemplo, polinomios de grado 3. Consideremos el subespacio <math>P = \{ax^3+bx^2+cx+d : a-b=0\land 3c+d=0\}</math>. Expresamos las ecuaciones así
{{Ecuación|1= <math>\left\{\begin{array}{lcr}a&=&b \\ d&=&-3c\end{array}\right.</math>}} lo cual implica que el subespacio está conformado por los polinomios de la forma
{{Ecuación|1=<math>p(x) = a x^3 + a x^2 + cx - 3c = a (x^3 + x^2) + c (x-3)</math>.}} Por lo tanto, <math>\{x^3 + x^2, x - 3\}</math> es una base del espacio ''P''.
</li>
 
<li><p> Considérese ahora el problema inverso: dada una base, se busca el [[Sistema generador|espacio que genera]].
</p><p> Si por ejemplo <math>B = \left\{(1,-1,1)\right\}</math> es la base de algún subespacio de <math>\mathbb{R}^3</math>, el objetivo entonces es hallar el conjunto de combinaciones lineales <math>\mathrm{gen}(B) = \{(1,-1,1)t : t \in \mathbb{R}\}</math> en forma implícita. Para esto, tómese una [[tupla|terna ordenada]] <math>(x,y,z)\in\mathrm{gen}(B)</math>. Se cumple que
</p>{{Ecuación|1=<math>(x,y,z)=(1,-1,1)t</math>}}
<p>el cual es un [[sistema de ecuaciones lineales]]. Puede eliminarse el parámetro ''t'', para obtener
{{Ecuación|1=<math>\mathrm{gen}(B) = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x+y = y+z = 0\}</math>.}}
</p></li>
 
</ol>
 
== Espacios de dimensión infinita ==
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