Diferencia entre revisiones de «Teorema de Cantor»

Consideremos una función cualquiera ''<math>f'': de ''A'' en\to el conjunto de partes de ''\mathcal{P}(A'')</math>, entonces demostrar el teorema de Cantor requiere probar que ''f'' no es [[función sobreyectiva|sobreyectiva]] (exhaustiva). Y para probar que ''f'' no es sobreyectiva basta encontrar un subconjunto de ''A'' que no sea la imagen de ningún elemento de ''A'' a través de ''f''.

Cantor consideró un conjuntosubconjunto particular ''B'' definido como:<br />

Y probó que ese subconjunto no puede ser la imagen de ningún elemento de ''A''. El argumento que construyó Cantor es por [[reducción al absurdo]] presuponiendo de partida que ''f'' sí es sobreyectiva, y entonces el argumento va como sigue:

# PuestoSi que<math>a\in B</math>, entonces por la definición de ''fB'' esse sobreyectiva,tiene entonces existeque <math>a\in A:notin B = f(a)</math>, puestolo que ''B''cual es un subconjunto de ''A''contradictorio.

# Ahora tratemos de ver si <math>a\in B</math> o bienSi <math>a\notin B</math>. Supongamos en primer lugar que ''a'' pertenece a B, entonces por la definición de B se tiene que ''aB'' nose pertenece, lo cual es contradictorio. Por otro lado si suponemostiene que ''a'' no pertenece <math>a\in B</math>, entonces por la definición de B, ''a'' debe ser un elemento de ''B'' lo cual es una contradicción de nuevocontradictorio.

#En Porambos tantocasos llegamos al caso de que si existe un ''a'' cuya imagen sea el conjunto B entonces irremisiblemente llegamos auna contradicción, por tanto lano únicaexiste salida es suponer que dichodicha ''a'' no existe y por tantoentonces ''f'' no(que es una función puedecualquiera) serno es sobreyectiva, como queríamos demostrar.