Diferencia entre revisiones de «Número cardinal»
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{{otros usos|este=la definición elemental de número cardinal|Número cardinal (teoría de conjuntos)|la definición en teoría de conjuntos}}
El '''cardinal''' indica el [[número]] o cantidad de elementos de un [[conjunto]], sea esta cantidad finita o infinita. Los números cardinales constituyen una generalización interesante del concepto de [[número natural]], permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinitos. Dado un conjunto <math>A\,</math>, el cardinal de este conjunto se simboliza mediante <math>|A|\,</math>, <math>\mbox{n}(A)\,</math>, <math>\mbox{card}(A)\,</math>
<!-- Otra propiedad: el nombre del cardinal indica su existencia y su límite.
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Primero estableció el concepto de cardinalidad como una herramienta para comparar conjuntos finitos. Por ejemplo, los conjuntos {1,2,3} y {2,3,4} son distintos pero ambos tienen cardinalidad 3.
Cantor definió el conteo usando la correspondencia biunívoca, la cual mostraba fácilmente que dos conjuntos finitos tenían la misma cardinalidad si había una relación biyectiva entre sus elementos. Esta correspondencia uno a uno le sirvió para crear un concepto de conjunto infinito, el cual posee todos sus elementos relacionados de forma biyectiva con el conjunto de números naturales (
Nombró el cardinal de <math>\mathbb{N}</math>: <math>\aleph_0</math>. Incluso probó que varios conjuntos infinitos formados por naturales (como los pares) tienen cardinalidad <math>\aleph_0</math>, debido a que era posible establecer la relación biunívoca con
== Propiedades del cardinal de un conjunto ==
Los conjuntos pueden ser divididos en [[Clase de equivalencia|clases de equivalencia]] definidas en función de la [[relación de equivalencia]] que incluye a un par de conjuntos si y sólo si entre éstos existe una [[función biyectiva|biyección]].
Cardinalidad de un conjunto sería la clase de equivalencia a la cual éste pertenece.
Tener dos conjuntos <math>A</math>, <math>B</math> con la misma cardinalidad (o sea, que pertenezcan al mismo cardinal) se denota:
{{ecuación|
<math> \left | A \right | = \left | B \right |,</math> o bien <math>\# A= \# B </math>
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<math>\left | A \right | \le_{\#} \left | B \right |</math> y <math>\left | B \right | \le_{\#} \left | A \right |</math> esto implica que <math>\left | A \right | = \left | B \right |</math>
||left}}
El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmente como 0 (cero)
{{ecuación|
<math>\text{card}(\varnothing) = 0</math>
||left}}
El primer cardinal infinito (en el sentido de que sus representantes son conjuntos infinitos) es el cardinal de los naturales, y se denota usualmente por <math>\omega</math>. Se puede también demostrar que existe una función biyectiva entre los ordinales y los cardinales de conjuntos infinitos, tal que preserva el orden en ambos conjuntos (el orden de los ordinales y el <math>\le_{\#}</math>-orden en los cardinales). Esta función, llamada <math>\aleph</math> (Álef), induce un [[relación de orden|buen orden]] en los cardinales, y de aquí proviene la notación <math>\aleph_0=\omega</math> para el primer cardinal infinito, <math>\aleph_1</math> para el siguiente, etc.
=== Cardinal del conjunto potencia ===
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:<math>|A| = n \Rightarrow |P(A)| = 2^n</math>
Donde <math>|P(A)|</math> es el cardinal del conjunto de partes de <math>A</math>.
=== Cardinales transfinitos ===
{{AP|Número transfinito}}
Los números cardinales de algunos conjuntos se representan con símbolos especiales:
* El cardinal de los números reales: <math>\mbox{card}(\R) = c</math>
* El cardinal de los números naturales: <math>\mbox{card}(\N) = \aleph_0</math> ([[Alef-0]]).
* El cardinal inmediatamente superior a <math>\aleph_0</math>: <math>\aleph_1</math>
Línea 62 ⟶ 61:
\land (f\ \mathrm{biyectiva}) \}</math>
||left}}
Como cualquier conjunto de ordinales es siempre un conjunto bien ordenado, siempre existirá un mínimo con esa definición.
{{ecuación|
<math>|\alpha| = \alpha</math>
||left}}
Todos los cardinales forman una [[Clase (teoría de conjuntos)|clase]] dentro de los ordinales. De hecho, en cierta manera la clase de todos los cardinales es una clase de "ordinales iniciales" en el sentido de que un cardinal es un ordinal tal que no existe ningún otro ordinal del mismo tamaño. En particular, todos los [[ordinal regular|ordinales regulares]] son cardinales.
== Ejemplos de cálculo del cardinal de un conjunto ==
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====Números naturales ====
El cardinal del conjunto infinito ''P'' = {''x'' ∈ <math>\mathbb{N}</math>
:<math>\begin{matrix} f:P \longrightarrow \mathbb{N} & \qquad & \qquad & g:\mathbb{N} \longrightarrow P \\
x \mapsto f(x) =\frac{x}{2} & \qquad & \qquad & x \mapsto g(x) = 2x \end{matrix}</math>
Demostrando la inyectividad de ambas, concluimos que ''f'' es [[Función biyectiva|biyectiva]]. La cardinalidad del conjunto es <math>\aleph_0</math>. Esto concluye la demostración. Aunque este resultado puede parecer contrario a la intuición, ya que se puede pensar que hay más naturales que pares (porque, por ejemplo, el 1 es natural y no está incluido en los pares),
El conjunto de pares ordenados (o, más generalmente, de ''n''-[[tupla]]s) de números naturales tiene un cardinal <math>\aleph_0</math>. Esto se puede probar numerando los pares de números naturales anti-diagonalmente. Otro modo de demostrar es que <math>\mathbb{N} \times \mathbb{N}</math> tiene el mismo cardinal que un subconjunto infinito de los naturales:
:<math>\begin{matrix} g \ :\ \mathbb{N} \times \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}\\
Línea 93 ⟶ 92:
==== Números racionales ====
El conjunto de los [[Número racional|Números racionales]] <math>\mathbb{Q}</math> tiene un cardinal igual a <math>\aleph_0</math>. Este resultado desafía un poco la intuición porque de un lado el conjunto de los racionales es "[[Glosario de topología#G|denso]]" en <math>\mathbb{R}</math>, que tiene cardinal <math>2^{\aleph_0}</math>
Para comprobar que en efecto el conjunto <math>\mathbb{Q}</math> es numerable
:<math>\begin{matrix} i_\mathbb{Q}:\mathbb{Q}\longrightarrow \mathbb{N} \times \mathbb{N} & \\
Línea 101 ⟶ 100:
</math>
Esto demuestra que <math>\mbox{card}(\mathbb{Q}) \le \mbox{card}(\mathbb{N} \times \mathbb{N})</math>, y como <math>\mbox{card}(\mathbb{N} \times \mathbb{N}) = \mbox{card}(\mathbb{N})</math> y los naturales son asimilables a un conjunto de los racionales, tenemos la cadena de desigualdades:
:<math>\mbox{card}(\mathbb{N}) \le \mbox{card}(\mathbb{Q}) \le
Línea 109 ⟶ 108:
== Aritmética de cardinales ==
Dados dos conjuntos disjuntos <math>\scriptstyle \mathcal{A}</math> y <math>\scriptstyle \mathcal{B}</math> con cardinales respectivos <math>\scriptstyle A</math> y <math>\scriptstyle B</math>, se define el [[principio de la suma]] y el [[principio del producto]] para la [[suma]] y [[multiplicación]] de cardinales como:
{{ecuación|
<math>A + B = |\mathcal{A} \cup \mathcal{B}|, \qquad
A \cdot B = |\mathcal{A} \times \mathcal{B}|</math>
||left}}
Cuando los dos conjuntos son finitos, la aritmética de cardinales se reduce a la aritmética de números naturales. Sin embargo, cuando alguno de los dos conjuntos es infinito se tiene una extensión consistente de la aritmética de números naturales. Existen algunas relaciones aritméticas interesantes entre cardinales transfinitos:
* El cardinal del producto cartesiano de dos conjuntos coincide con el de mayor cardinal: <math>A\cdot B = \max(A,B)</math>
La exponenciación de cardinales se define a partir del conjunto de funciones de entre los dos conjuntos <math>\scriptstyle \mathcal{A}</math> y <math>\scriptstyle \mathcal{B}</math>:
{{ecuación|
| |||