Diferencia entre revisiones de «Teoría de Sturm-Liouville»

Correcciones ortograficas y nuevos enlaces
(Correcciones ortograficas y nuevos enlaces)
{{ecuación|<math> -\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{ dx}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y</math>|1|center| }}
 
donde las funciones <math>\ p(x), q(x), w(x)</math> están prescritas,. y enEn el caso más simple, estas funciones son continuas en un intervalo finito cerrado <math>[a,b]</math>., Elen problemacuyos generalmenteextremos, vienepor formuladolo congeneral, se definen unas [[Problema de condición de frontera|condiciones de contorno o frontera]], es decir, valores específicos deque adoptan las funciones <math>y</math> y/o <math>\frac{dy}{dx}</math> en los extremos <math>a,b</math>. La función <math>w(x)</math> es llamada función de densidad o función de peso.
 
El valor de ''λ'' no se especifica en la ecuación;. De hecho, el encontrar los valores ''λ'' dondepara los que exista una solución [[Trivial (matemática)|no trivial]] de la ecuación que satisfaga las condiciones de frontera se denomina el problema de Sturm-Liouville (S-L).
 
Tales valores de ''λ'' son llamados [[valor propio|valores propios]] o eigenvalores del problema de S-L que plantea {{Eqnref|1}} conjuntamente con las condiciones de frontera. Las soluciones correspondientes son las [[función propia|funciones propias]] o las eigenfunciones o los eigenvectores del problema. Bajo suposiciones normales en los coeficientes de las funciones <math> p(x), q(x), w(x)</math>, éstasestas inducen [[operador]]es diferenciales [[operador hermítico|hermíticos]] en algunas funciones definidas por las condiciones de frontera. La teoría resultante de la existencia y el comportamiento asintótico de los valores propios, la teoría cualitativa correspondiente de las funciones propias y sus funciones adecuadas completas se conoce como teoría de Sturm-Liouville. Esta teoría es importante en matemática aplicada, donde los problemas S-L ocurren muy comúnmente, particularmente al resolver ecuaciones diferenciales parciales con separación de variables.
 
== Teoría de Sturm-Liouville ==
El [[operador lineal]]:
{{ecuación|<math>L u =-{d\over dx}\left[p(x){du\over dx}\right]+q(x)u</math>|6|center}}
puede ser vista como la transformación de una función <math>\ u</math> en otra función <math>\ Lu</math>. Se puede estudiar ésteeste operador lineal en el contexto del [[análisis funcional]]. Si ponemos <math> \ w = 1</math> en la ecuación {{eqnref|1}}, podemos escribirla:
{{ecuación|<math>L u = \lambda u \,.</math>|7|left}}
ÉsteEste es precisamente un problema de [[valor propio|valores propios]]; donde se trata de hallar valores propios λ y vectores propios <math>\ u</math> del operador <math>\ L</math>. Sin embargo, también se debe incluir las condiciones de frontera. Como ejemplo se dirá que vamos a evaluar el problema en el intervalo <math>\ [0,1]</math> y se pondrá las condiciones de frontera <math>\ u(0) = u(1) = 0</math>.
 
La importancia de problemas de valores propios esta en el hecho que nos ayuda a resolver problemas asociados inhomogéneos:
== Operadores de Sturm-Liouville como operadores Hermíticos ==
 
Muchas de las propiedades de los operadores de S-L vienen del hecho que éstosestos son [[operador hermítico|operadores hermíticos]] con respecto al producto interno: {{ecuación|<math> \langle u, v \rangle_w = \int_a^b w(x)u(x)v(x)dx.</math>||left}}
Y así los valores propios de los operadores de S-L son reales y que las funciones propias corresponden a diferentes valores propios son [[Ortogonalidad (matemáticas)|ortogonales]].
 
505

ediciones