Diferencia entre revisiones de «Teoría de Sturm-Liouville»

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{{ecuación|<math> -\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{ dx}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y</math>|1|center| }}
 
donde las funciones <math>\ p(x),</math> q(x),y <math>w(x)</math> estánson prescritaspositivas y q(x) es [[Función real|real]]. En el caso más simple, estas funciones son continuas en un intervalo finito cerrado <math>[a,b]</math>, en cuyosel extremosque, por lo general, se definen unas [[Problema de condición de frontera|condiciones de contorno o frontera]], es decir, se concretan unos valores específicos que adoptan las funciones <math>y</math> y/o <math>\frac{dy}{dx}</math> en los extremos <math>a,b</math>de dicho intervalo. La función <math>w(x)</math> es llamada función de densidad o función de peso.
 
El valor de ''λ''<math>\lambda</math> no se especifica en la ecuación. De hecho, el encontrar los valores ''λ''<math>\lambda</math> para los que exista una solución [[Trivial (matemática)|no trivial]] de la ecuación que satisfaga las condiciones de frontera se denomina el '''problema de Sturm-Liouville''' (S-L).
 
Tales valores de ''λ''<math>\lambda</math> son llamados [[valor propio|valores propios]] o eigenvalores del problema de S-L que plantea {{Eqnref|1}} conjuntamente con las condiciones de frontera. Las soluciones correspondientes son las [[función propia|funciones propias]] o las eigenfunciones o los eigenvectores del problema. Bajo suposiciones normales en los coeficientes de las funciones <math> p(x), q(x), w(x)</math>, estas inducen [[operador]]es diferenciales [[operador hermítico|hermíticos]] en algunas funciones definidas por las condiciones de frontera. La teoría resultante de la existencia y el comportamiento asintótico de los valores propios, la teoría cualitativa correspondiente de las funciones propias y sus funciones adecuadas completas se conoce como teoría de Sturm-Liouville. Esta teoría es importante en matemática aplicada, donde los problemas S-L ocurren muy comúnmente, particularmente al resolver ecuaciones diferenciales parciales con separación de variables.
 
== Teoría de Sturm-Liouville ==
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