Diferencia entre revisiones de «Teoría de Sturm-Liouville»

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El valor de <math>\lambda</math> no se especifica en la ecuación. De hecho, el encontrar los valores <math>\lambda</math> para los que exista una solución [[Trivial (matemática)|no trivial]] de la ecuación que satisfaga las condiciones de frontera se denomina el '''problema de Sturm-Liouville''' (S-L).
 
Tales valores de <math>\lambda</math> son llamados [[valor propio|valores propios]] o eigenvalores del problema de S-L que plantea {{Eqnref|1}} conjuntamente con las condiciones de frontera. Las soluciones correspondientes son las [[funciónVector propiapropio y valor propio|funciones propias]] o las eigenfunciones o los eigenvectores del problema. Bajo suposiciones normales en los coeficientes de las funciones <math> p(x), q(x), w(x)</math>, estas inducen [[operador]]es diferenciales [[operador hermítico|hermíticos]] en algunas funciones definidas por las condiciones de frontera. La teoría resultante de la existencia y el comportamiento asintótico de los valores propios, la teoría cualitativa correspondiente de las funciones propias y sus funciones adecuadas completas se conoce como teoría de Sturm-Liouville. Esta teoría es importante en matemática aplicada, donde los problemas S-L ocurren muy comúnmente, particularmente al resolver ecuaciones diferenciales parciales con separación de variables.
 
== Teoría de Sturm-Liouville ==
:<math>\frac{\partial^2W}{\partial x^2}+\frac{\partial^2W}{\partial y^2} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2W}{\partial t^2}.</math>
 
El método de [[separación de variables]] sugiere buscar primero soluciones de la forma sencilla ''W'' = ''X''(''x'') × ''Y''(''y'') × ''T''(''t''). Para una tal función ''W'' la ecuación en derivadas parciales puede escribirse como ''X''"/''X'' + ''Y"''/''Y'' = (1/''c''<sup>2</sup>)''T"''/''T''. Dado que los tres términos de esta ecuación son funciones de ''x'',''y'',''t'' por separado, deben ser constantes. Por ejemplo, el primer término da ''X''"=''<math>\lambda</math>X'' donde ''<math>\lambda</math>'' es constante. Las condiciones de frontera ("sostenida en un marco rectangular") son ''W''=0 cuando ''x''=0, ''L''<sub>1</sub> ó ''y'' = 0, ''L''<sub>2</sub> lo cual define los problemas de S-L lo más sencillos posibles como en el [[ejemplo]] y dan las "soluciones de modos normales" para ''W'' con dependencia armónica del tiempo,
 
:<math>W_{mn}(x,y,t) = A_{mn}\sin\left(\frac{m\pi x}{L_1}\right)\sin\left(\frac{n\pi y}{L_2}\right)\cos\left(\omega_{mn}t\right)</math>
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