Diferencia entre revisiones de «Ecuación de cuarto grado»

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Las ecuaciones cuasi simétricas poseen la siguiente propiedad, que, por otra parte, las define: si <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, y <math>x_3</math>,<math>x_4</math> son las raíces de la ecuación, entonces <math>x_1 x_2 = m</math>. Dado que el producto de las 4 raíces es <math>m^2</math>, entonces <math>x_3 x_4 = m</math> necesariamente.
 
== Ecuaciones recíprocassimétricas de cuarto grado ==
Tienen la forma <math> ax^4 +bx^3+cx^2+bx+a= 0</math> con '''a''' ≠ 0. Todos los coeficientes son números racionales. Se obtiene de una ecuación recíproca para <math> \phi = 1 </math>. Se resuelve con la sustitución
La ecuación algebraica de cuarto grado de la forma
{{Ecuación|<math>x^4+bx^3+cx^2+dx+e = 0</math>}} se llama '''recíproca''' (siendo ''e'' ≠ 0), siempre que exista un número <math> \phi </math> ≠ 0, de manera que los coeficientes a, b, d, e se vinculan por las igualdades <math> d = \phi b, e =\phi^2 a </math>.
En base a las premisas relacionales entre los coeficientes, resulta la ecuación
{{Ecuación|<math>x^4+bx^3+cx^2+\phi bx+\phi^2e = 0</math>}} la que se transforma en {{Ecuación|<math> a(x^2+\frac{\phi^2}{x^2}) +b(x+\frac{\phi}{x})</math>}}, la que con la sustitución <math>t= x+\frac{\phi}{x} </math> reduce a la ecuación de 2º grado en t:{{Ecuación|<math> at^2+bt+c-2\phi a=0 </math>}}.
Se aplica el procedimiento de ecuaciones bicuadradas que dan dos raíces <math> t_1, t_2</math> que permiten formar dos ecuaciones de 2º grado en x. <ref>A: G. Tsipkin:''Manual de matemáticas''. Editorial Mir, Moscú (1985), traduce Shapovalova, impreso en URSS</ref>
 
=== Ecuaciones simétricas de cuarto grado ===
Tienen la forma <math> ax^4 +bx^3+cx^2+bx+a= 0</math> con '''a''' ≠ 0. Todos los coeficientes son números racionales. Se obtiene de una ecuación recíproca para <math> \phi = 1 </math>. Se resuelve con la sustitución
:<math> t= x+\frac{1}{x} </math>. <ref>Tsipkin Op. cit.</ref>
 
===Ecuaciones antisimétricas de cuarto grado===
Asumen la representación <math> ax^4 +bx^3+cx^2-bx+a= 0</math> con '''a''' ≠ 0. Todos los coeficientes son números racionales. Se deduce de una ecuación recíproca para <math> \phi = -1 </math>. Al resover se usa el reemplazo
:<math> t= x-\frac{1}{x}. </math> <ref>Tsipkin Op. cit.</ref>
 
===Reducible a bicuadrada===
Es la ecuación de cuarto grado que se representa así: {{Ecuación|<math>(x^2+bx+c)((x^2+bx+d )=k </math>}} donde b, c, d, k son números racionales. <ref>Tsipkin. Obra mencionada.</ref>
 
== Referencias ==