Diferencia entre revisiones de «Principio de Cavalieri»

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[[File:Cavalieri's Principle in Coins.JPG|thumb|250px|Dos pilas de monedas con el mismo volumen, ilustrando el principio de Cavalieri en tres dimensiones.]]
 
El '''Principio de Cavalieri''' (denominado en honor a su descubridor [[Bonaventura Cavalieri]] en el [[siglo XVII]]) es una ley [[Geometría|geométrica]] que enuncia la diferencia de volumen en dos [[figuracuerpo geométrica(geometría)|cuerpos geométricos]]. El enunciado podría ser:
{{definición|''Si dos cuerpos tienen la misma altura y además tienen igual área en sus secciones planas realizadas a una misma altura, poseen entonces igual [[volumen]]''.}}
Hoy en día en la moderna teoría de [[geometría analítica]] el principio de Cavalieri es tomado como un caso especial del [[Teorema de Fubini|Principio de Fubini]]. Cavalieri no hizo un uso extensivo del principio, empleándolo sólo en su ''Método de las indivisibles'' que expone en el año [[1635]] con la publicación de su obra ''Geometria indivisibilibus'' y también aparece en [[1647]] en su ''Exercitationes Geometricae''. Antes del Principio, principio [[siglo XVII]], sólo se podíapodría calcular el volumen de algunos cuerpos especiales ya tratados en la geometría desarrolladageométricamente por ellos descollanteresultados hombreobtenidos de ciencia e ingeniería,por el griego [[Arquímedes]] y el astrónomo teutón[[Johannes Kepler|Kepler]] <ref>Yaróslav Govánov «Semblanzas de grandes hombres de ciencia», Editorial Mir, Moscú (1990) </ref>. La idea del cálculo de volúmenes mediante la comparación de secciones dio oportunidadpaso al desarrollo de los primeros pasos del [[cálculo infinitesimal]], particularmente en el área así como de las [[integral]]es.
 
== Ejemplos ilustrativos ==
 
[[Archivo:Cylinder geometry.svg|thumb|right|cilindro.]]
La sección perpendicular de un [[cilindro|cilindro circular recto]] resultaproporciona un círculo respectosi éste se hace perpendicular al eje de rotación principal del mismo; si es así, el área de dicha sección es <math>\pi r^2</math>, siendocuando <math>r</math> es el radio de la superficie (o de la parte interior el cilindro). Por el principio de Cavalieri el volumen del cilindro es igual al de un [[paralelepípedo]] cuando éste
posee la misma altura <math>h</math>, siempre que la sección del paralepípedo tenga la misma área y por lo tanto ambos poseen un volumen de <math>\pi r^2\cdot h</math>.
 
=== Semiesfera ===
::<math>V_p = V_c = \pi r^2\times h</math>.
 
=== Volumen de la semiesfera ===
[[Archivo:Cavalieri half-ball.svg|thumb|left|Sección vertical (superior) y horizontal (inferior) a través de una semiesfera.]]
La sección a lo largo de una semi-esfera de radio <math>r</math> muestra una superficie circular que si se realiza a una altura <math>h</math> paralela al horizonte, mediante el [[teorema de Pitágoras]] se obtiene un círculo de radio
La idea tras el Principio de Cavalieri está muy relacionada con el [[cálculo integral]]. Un ejemplo de ello puede encontrarse en el ejemplo de cálculo del perímetro de la sección de un plano con dos cuerpos, en el que se cumple la siguiente ecuación:
: <math>\int_a^b(f(x)-g(x))\,\mathrm dx=\int_a^bf(x)\,\mathrm dx-\int_a^bg(x)\,\mathrm dx</math>
 
==Referencias==
{{listaref}}
 
La relación se conoce ya que la superficie <math>A_1</math> entre las dos funciones <math>f</math> y <math>g</math> son tan grandes como la superficie <math>A_2</math> bajo la diferencia de fuciones <math>x\mapsto f(x)-g(x)</math>; esta última superfice es perpendicular al cuerpo.
 
== Referencias externas ==
==Bibliografía==
* Ediciones Aduni «Las geometrías», Lima (2009)
 
== Enlaces externos ==
* [http://www.walter-fendt.de/m14i/volsphere_i.htm Ejemplo del cálculo del área de una esfera]