Diferencia entre revisiones de «Prisma mecánico»
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Un '''prisma mecánico''' o '''pieza prismática''' es un modelo mecánico de [[Mecánica de sólidos deformables|sólido deformable]], usado para calcular elementos estructurales como [[viga]]s y [[pilar]]es.
Geométricamente un prisma mecánico puede generarse al mover una '''
* Un [[
* Un [[
* Una [[
Una pieza prismática queda caracterizada por su '''eje
== Descripción geométrica ==
El '''eje baricéntrico''' o '''línea baricéntrica''' es el lugar geométrico de los [[baricentro]]s o [[centro de gravedad|centros de gravedad]] de las
=== Coordenadas baricéntricas ===
Dado un prisma mecánico <math>\Pi\,</math>, si llamamos <math>E\,</math> al '''eje''' (que puede ser recto o curvo) y <math>S\,</math> a la forma de la '''sección
De hecho, para una pieza prismática (recta o curva) puede construirse un sistema de [[coordenadas ortogonales]] (''s, y, z'') de tal manera que ''s'' represente la [[longitud de arco]] a lo largo de la curva ''E'' e (''y, z'') sean coordenadas sobre la sección transversal y el vector de posición '''r''' de cualquier punto de la pieza prismática puede expersarse como:
{{ecuación|
<math>\begin{cases}
\mathbf{r}(s,y,z) = \mathbf{r}_{eje}(s) + y\mathbf{n}(s)+ z\
\mathbf{t}(s) = \cfrac{d\mathbf{r}_{eje}(s)}{ds} \qquad
\mathbf{n}(s) = \
\mathbf{b}(s) = \cfrac{1}{\tau}\left( \cfrac{d\mathbf{n}(s)}{ds}+\chi\mathbf{t}\right)
\end{cases}</math>
||left}}
Donde los vectores ''t, n'' y ''b'' son los vectores tangente, normal y binormal del [[Geometría diferencial de curvas|triedro de Frênet-Serret]] del punto ''r''(s, x, y) de la curva ''E''; χ y τ son respectivamente la [[curvatura]] geométrica y la [[Geometría diferencial de curvas#Curvatura y torsión|torsión]] geométrica del eje de la pieza prismática. La relación entre las coordenadas curvilíneas ortogonales (''s, y, z'') y las coordenadas cartesinas (''X, Y, Z'') del espacio tridimensional en el que se encuentra la pieza prismática es:
Línea 33:
{{ecuación|
<math> \begin{cases} h=\sqrt{(y_{max}-y_{min})^2+(z_{max}-z_{min})^2} \\
h<<\chi^{-1} &\and\
||left}}
La primera condición es de tipo matemático y tiene que ver con la validez del cambo de coordenadas, más formalmente el [[jacobiano]] del cambio de coordenadas resulta ser positivo si:
Línea 45:
{{Ecuación|<math>\begin{matrix}
A=\int_A dydz & S_y=\int_A z\ dydz & S_z=\int_A y\ dydz \\
I_y=\int_A
I_\omega=\int_A \omega^2\ dydz & \hat{S}_y=+\int_A \frac{\partial\omega}{\partial y}\ dydz &
\hat{S}_z=-\int_A \frac{\partial\omega}{\partial z}\ dydz \end{matrix}
Línea 59:
Una pieza prismática presenta la peculiaridad mecánica de que cualquier deformación tridimensional puede expresarse en términos de la deformación del eje ''E''(desplazamientos del mismo, cambios de curvatura y torsión). La ecuación que relaciona los desplazamientos y giros del eje, con el campo de desplazamientos del sobre todo el prisma (considerado como sólido deformable) se llama hipótesis cinemática.
La
{{Ecuación|<math> \mathbf{d}(s,y,z) =
\begin{Bmatrix}
Línea 79:
\theta_y(s) \\
\theta_z(s) \\
\end{
</math>||left}}
Donde <math>C:= (y_C,z_C), G:= (y_G,z_G)</math> son las posiciones del [[centro de cortante]] y del [[baricentro|centro de gravedad]] de la sección. Lo anterior
{{Ecuación|<math>
\begin{Bmatrix} \varepsilon_{ss} \\ \varepsilon_{sy} \\ \varepsilon_{sz} \end{Bmatrix} =
| |||