Diferencia entre revisiones de «Línea geodésica»
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Para encontrar la ecuación de las geodésicas, consideraremos que dichas geodésicas están parametrizadas mediante la [[longitud de arco]] ''s''. En ese caso, usando los [[símbolos de Christoffel]] asociadas a la [[Conexión (matemática)|conexión]] sin [[torsión de una conexión|torsión]], la curva geodésica de mínima longitud que pasan por un punto ''x''<sub>0</sub> y tiene el vector tangente '''v''' constante satisface la siguiente ecuación:
{{Ecuación|<math>\begin{cases}
\cfrac{d^
x(0) = x_0 \quad \cfrac{dx}{ds} \Big|_{x_0} = \mathbf{v} \end{cases}</math>|1|left}}
Puede probarse que la ecuación anterior puede obtenerse también por métodos variacionales de [[principio de mínima acción#Ecuaciones de Euler-Lagrange en geometría|mínima acción]]. De hecho las geodésicas son una solución particular de las [[Ecuaciones de Euler-Lagrange#Ecuaciones de Euler-Lagrange en geometría|Ecuaciones de Euler-Lagrange]] para un lagrangiano basado en la forma cuadrática asociada al tensor métrico que interviene en el cálculo de longitudes.
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